Процесс принятия решений как выбор наилучшей (наиболее рациональной) альтернативы из некоторого универсального множества альтернатив , может происходить при разной степени информированности ЛПР.
Если информацию о реальной ситуации, на основе которой сравниваются разные альтернативы, можно задать в форме функций полезности , то имеем задачу НМП. Такие варианты задачи рассмотрены в п. 9.3. Однако подобный способ описания информации возможен не всегда. Более универсальным является описание информации в форме отношения предпочтения на множестве альтернатив [37].
Рассмотрим это отношение и его свойства. Предположим, что на основе информации, полученной от ЛПР, на множестве допустимых альтернатив введено четкое отношение нестрогого предпочтения . Это означает, что для любой пары альтернатив можно высказать одно из следующих утверждений:
|
не хуже , то есть или ;
и не сравнимы между собой, то есть .
Такая информация позволяет сузить класс рациональных выборов, включив в него лишь те альтернативы, которые не доминируются ни одной альтернативой из множества .
Для того чтобы определить недоминированные альтернативы, введем отношения строгого предпочтения , соответствующее отношению нестрогого предпочтения , а также отношение безразличия .
Будем говорить, что альтернатива строго лучше альтернативы , если одновременно, , a то есть , . Совокупность всех таких пар и называется отношением строгого предпочтения на множестве .
Для компактной записи отношения используем определение отношения , обратного к . Отношение строгого предпочтения в соответствии с его определением записывается так
(9.4.1)
Если , то будем говорить, что альтернатива доминирует альтернативу (записывается ). Альтернативу назовем недоминируемой на множестве с заданным отношением , если для любой альтернативы . Иными словами, если – недоминируемая альтернатива, то на множестве нет ни одной альтернативы , которая бы доминировала . Ведь выбор недоминированных альтернатив можно считать рациональным в задаче принятия решений.
Таким образом, информация в форме отношения предпочтения позволяет сузить класс рациональных выборов до подмножества недоминируемых альтернатив вида
.
|
(9.4.2)
При моделировании реальных систем могут быть такие ситуации, когда у ЛПР нет четкого представления (информации) об отношении предпочтения между всеми или некоторыми альтернативами, а можно лишь оценить степень выполнения того или иного предпочтения между парами альтернатив в виде числа из интервала [0;1]. В таком случае с помощью ЛПР (или эксперта) можно ввести нечеткое отношение предпочтения .
Определение 9.22. Нечетким отношением нестрогого предпочтения на множестве альтернатив будем называть любое заданное на этом множестве нечеткое рефлексивное отношение [37].
Итак, нечеткое отношение предпочтения на будем описывать функцией принадлежности , обладающей свойством рефлексивности, то есть для всех . Если – нечеткое отношение предпочтения на множестве , то для любой пары альтернатив значение следует понимать как степень выполнения предпочтения . На основе заданного на нечеткого отношения нестрогого предпочтения можно однозначно определить три соответствующих ему нечетких отношения: 1) безразличия ; 2) эквивалентности ; 3) строгого предпочтения , которые используются для определения и анализа свойств множества недоминируемых альтернатив в задачах принятия решений [20; 37]. По аналогии с обычными (то есть четкими) отношениями предпочтения они определяются так:
; ,
.
То есть отношение эквивалентности определяется так: альтернатива эквивалентна ,если одновременно выполняются отношение и . Используя ранее введенные определения операций нетрудно получить выражения для функций принадлежности этих отношений :
1) нечеткое отношение безразличия
(9.4.3)
2) нечеткое отношение эквивалентности
; (9.4.4)
3) нечеткое отношение строгого предпочтения
(9.4.5)
Рассмотрим некоторые свойства введенных нечетких отношений.
1. Нечеткие отношения , рефлексивны и симметричны. Действительно, их рефлексивность следует из того, что , так как исходное отношение рефлексивно.
Поэтому .
Симметричность обоих отношений следует из их определений.
2. Нечеткое отношение строгого предпочтения антирефлексивно и антисимметрично. Действительно,
а) , так как исходное отношение рефлексивно и для него для всех ;
б) пусть , то есть .Тогда , что означает антисимметричность этого отношения .
Можно показать, что если исходное нечеткое отношение предпочтения на транзитивно, то транзитивны также и соответствующие отношения эквивалентности и строгого предпочтения [37] .
Важным свойством заданного на отношения предпочтения является его линейность.
Определение 9.23. Отношение на называется линейным, если этим отношением или обратным к нему связаны любые две альтернативы данного множества. Иными словами, при линейном отношении на множестве нет несравнимых между собой по предпочтению альтернатив . Очевидно, что линейность обычного (четкого ) отношения эквивалентна условию
Иначе это условие можно записать так
Рассмотрим свойства линейности для нечеткого отношения преимущества.
Определение 9.24. Пусть – некоторое число из интервала [0;1]. Нечеткое отношение называется -линейным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию
при любых .
Нечеткое отношение называется сильнолинейным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию
(9.4.6)
при любых .
Иначе, свойство сильной линейности можно определить следующим образом:
. (9.4.7)
Чтобы пояснить смысл свойства сильной линейности, покажем, что оно эквивалентно условию
, (9.4.8)
где – соответствующее нечеткое отношение строгого предпочтения .
Действительно, если выполнено (9.4.7), то в соответствии с определением получим , то есть условие (9.4.8) также выполнено. Наоборот, если выполнено (9.4.8) и , то тогда , то есть выполнено (9.4.7).
Рассмотрим условие сильной линейности в форме (9.4.8). Нетрудно заметить, что его можно записать в виде .
Из определения сильной линейности следует, что при сильно линейном нечетком отношении предпочтения на множестве для любых двух альтернатив выполнено хотя бы одно из равенств
и (или) .
Важное свойство сильно линейного нечеткого отношения предпочтения состоит в том, что соответствующие ему множества и совпадают. Предположим, что для некоторой пары выполнено неравенство . Тогда из (9.4.7) следует ,что , а из определения (см. 9.4.3) получаем, что . В силу симметричности в случае, когда , будем иметь .Следовательно,
(9.4.9)
Используем введенное выше отношение строгого предпочтения для определения подмножества недоминируемых альтернатив. Согласно определению нечеткого отношения предпочтения для любых альтернатив величина есть степень, с которым альтернатива доминируется альтернативой . Поэтому при фиксированном функцию можно рассматривать как функцию принадлежности нечеткого множества альтернатив , которые строго доминируются альтернативой . Отсюда следует, что множество всех альтернатив , которые не доминируются альтернативой , является дополнением введенного отношения . В соответствии с определением дополнения получим, что это новое нечеткое множество описывается функцией принадлежности вида
. (9.4.10)
Если, например, , то со степенью 0.7 альтернатива не доминируется альтернативой . Отсюда следует , что для выделения в подмножества всех альтернатив, каждая из которых не доминируется ни одной альтернативой из , необходимо взять пересечение нечетких подмножеств (9.4.10) по всем . Такое пересечение и назовем нечетким подмножеством недоминируемых альтернатив и обозначим его . Согласно определению операции пересечения нечетких множеств получим следующее выражение для функции принадлежности множества недоминируемых альтернатив:
.
Или
. (9.4.11)
Согласно (9.4.11) представляет собой степень, с которой альтернатива не доминируется ни одной из альтернатив множества . Пусть для некоторой альтернативы . Тогда доминируется любыми другими альтернативами со степенью не выше .
Пользуясь определением нечеткого отношения можно показать, что
. (9.4.12)
Выражение (9.4.12) позволяет описать подмножество недоминируемых альтернатив функцией принадлежности вида
, (9.4.13)
где – исходное нечеткое отношение нестрогого предпочтения. Поскольку величина есть степень недоминируемости альтернативы , то рациональным следует, конечно, считать выбор альтернатив, имеющих наибольшую степень принадлежности нечеткому множеству , т.е. таких, для которых
. (9.4.14)
Множество всех альтернатив , удовлетворяющих условию (9.4.14), назовем максимальными недоминируемыми альтернативами на множестве .Очевидно
.
Пример 9.7. Пусть в конечном множестве задано нечеткое отношение нестрогого предпочтения (табл. 9.4).
|
i\j |
|
|
|
|
|
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.1 |
|
|
0.5 |
1 |
0.2 |
0.6 |
|
|
0.1 |
0.6 |
1 |
0.3 |
|
|
0.6 |
0.1 |
0.5 |
1 |
Пользуясь введенными выше определениями, найдем отношение строгого предпочтения (табл. 9.5).
|
i\j |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0.2 |
0 |
|
|
0.3 |
0 |
0 |
0.5 |
|
|
0 |
0.4 |
0 |
0 |
|
|
0.5 |
0 |
0.2 |
0 |
Откуда получим искомую функцию принадлежности нечеткого множества недоминируемых альтернатив (табл. 9.6).
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
0.5 |
0.6 |
0.8 |
0.5 |
Как видим, наибольшую степень недоминируемости имеет альтернатива , поэтому ее выбор в качестве решения следует признать наиболее рациональным.
Рассмотрим задачи рационального выбора альтернатив, в которых множество недоминируемых альтернатив представляет собой нормальное нечеткое подмножество множества , т.е. функция принадлежности этого подмножества обладает свойством
. (9.4.15)
В этом случае для любой альтернативы из множества максимальных недоминируемых альтернатив выполняется условие . Это означает, что для любой альтернативы и произвольной альтернативы при этом выполняется равенство , т.е. ни одна из альтернатив не доминирует с ненулевой степенью данную альтернативу .
Такие альтернативы, для которых будем называть четко недоминируемыми (сокращенно ч.нд.) , соответствующее множество – множеством четко недоминируемых альтернатив, и будем обозначать его .Тогда
.
Множество ч.нд. альтернатив играет значительную роль в задачах рационального выбора, так как его можно рассматривать как четкое решение нечетко сформулированной задачи.
Рассмотрим некоторые свойства ч.нд. альтернатив. Прежде всего
рассмотрим вопрос об эквивалентности ч.нд. альтернатив. Покажем, что ч.нд. альтернативы, если их можно сравнивать, обязательно эквивалентны.
Как следует из определения , , для произвольной ч.нд. альтернативы выполняется равенство
. (9.4.16)
Отсюда можно сделать вывод, что для любых выполняется равенство
. (9.4.17).
Тогда из определения следует, что .
В соответствии с определением нечеткого отношения эквивалентности получим
для всех (9.4.18).
Рассмотрим два типа линейности нечеткого отношения предпочтения: 1) :
– линейное н.о.п. Если является – линейным, т.е.
,
то из (9.4.18) следует
. (9.4.19).
Таким образом две произвольные ч.нд. альтернативы эквивалентны со степенью, больше .
2) сильно линейное н.о.п. Если сильно линейное,
, а ,
то из определения сильной линейности и равенства (9.4.18) следует
. (9.4.20).
Рассмотрим применение нечеткого отношения предпочтения и множества недоминируемых альтернатив в проблеме рационального выбора при наличии нескольких критериев. Напомним, что эта проблема подробно рассмотрена в гл.1.
Пусть имется ситуация, когда любой из критериев задан в форме четких функций полезности . Значение можно трактовать как числовую оценку альтернативы по признаку . Альтернатива с большей оценкой считается лучшей по критерию (признаку) . Таким образом, каждая из функций описывает(задает) обычное(четкое) отношение предпочтения на множестве альтернатив вида
.
Задача состоит в том, чтобы выбрать альтернативу , которая имела бы наибольшие оценки по всем критериям (признакам). Итак, рациональным в данном случае следует считать выбор альтернативы , которая обладает свойством
. (9.4.21).
Такие альтернативы называют эффективными ( или Парето-оптимальными), и решением этой задачи выбора является множество всех эффективных альтернатив.
Для решения сформулированной задачи многокритериального выбора необходимо выбрать подходящий способ свертки многих критериев (векторного критерия) в скалярный.
1. Одним из наиболее распространенных способов свертки критериев является использование пересечения. Пусть . Тогда множество эффективных альтернатив в множестве с отношением предпочтения совпадает с множеством эффективных альтернатив для набора функций .
Таким образом, для отыскания множества эффективных альтернатив можно вместо набора отношений использовать их пересечение и найти множество недоминируемых альтернатив по н.о.п.
Обозначим через функцию принадлежности н.о.п. . Очевидно,
Тогда их пересечению – нечеткому отношению предпочтения -соответствует функция принадлежности
. (9.4.22)
Такая свертка критериев аналогична свертке вида
, (9.4.23)
применяющейся в многокритериальных задачах принятия решений. Числа в (9.4.23) – это коэффициенты относительного веса соответствующих критериев. В свертке (9.4.22) очевидно . Если же , то
, (9.4.24)
т.е. отношение уже не является рефлексивным.
2. Введем свертку исходных отношений в виде суммы
, где .
Ей соответсвует функция принадлежности вида
.
Заметим, что результирующее н.о.п. рефлексивно, так как все исходные н.о.п. рефлексивны.
Рассмотрим случай, когда все исходные отношения одинаково важны, т.е. . Построим нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив , пользуясь ранее введенными определениями:
. (9.4.24)
Обозначим через подмножество четко недоминируемых альтернатив множества , а через соответственно подмножество четко недоминируемых альтернатив множества . Можно показать, что .
Исследуем свойства альтернатив из множества . Очевидно, функция приобретает только значения вида , где – натуральное число,. Пусть для некоторой альтернативы . В соответствии с (9.4.24) это означает, что
(9.4.25)
или
для любого . Так как члены суммы в (9.4.24) приобретают только значения или , то из (9.4.25) следует, что разность между числом членов этой суммы, равных , и числом членов, равных , не превышает при любом . Это можно объяснить следующим образом. Пусть -число функций из заданного набора, по каждой из которых альтернатива строго лучше , и -число функций , для которых альтернатива строго лучше . Если , то при любом . Таким образом, функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости.
Далее целесообразно искать пересечение множеств , , и найти и соответствующую функцию принадлежности . На множестве надо отыскать альтернативы с максимальной степенью недоминируемости. Это и будет наилучшим выбором.
Дадим описание алгоритма выбора альтернатив при наличии многих критериев оптимальности (нечетких отношений предпочтения) [20].
1. Пусть на универсальном множестве альтернатив заданы отношения предпочтения (четкие или нечеткие) с функциями принадлежности , а также – весовые коэффициенты соответствующих отношений.
Строим свертку отношений в виде пересечения , с функцией принадлежности
. (9.4.26)
2. Определим множество недоминируемых альтернатив на множестве
. (9.4.27)
3. Используя свертку критериев в виде суммы, строим нечеткое отношение предпочтения :
, . (9.4.28)
4. Находим нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив по отношению
. (9.4.29)
5. Находим пересечение множеств , , и общее множество недоминируемых альтернатив с функцией принадлежности
. (9.4.30)
Рациональным считаем выбор альтернатив из множества
. (9.4.31)
Итак, наилучшим следует считать выбор альтернатив из множества с наибольшей степенью недоминируемости.
Пример 9.8. Пусть гражданин N хочет наиболее выгодно вложить свой приватизационный имущественный сертификат (ПИС). При этом он рассматривает следующие возможные варианты:
x1 – использовать ПИС для приватизации жилья;
– использовать его для приобретения акций автомобильной компании, например ЛОГОВАЗ;
– вложить ПИС в акции строительной компании, которая строит бизнес-центр в городе;
– продать свой ПИС.
Гражданин оценивает альтернативы по следующим критериям: - ожидаемая прибыль; – возможный риск, связанный с банкротством; - время, через которое можно ожидать получение прибыли.
Пусть по оценкам эксперта указанные критерии устанавливают такие отношения предпочтения на множестве альтернатив:
: предпочтительнее (записываем так: ); приблизительно эквивалентно ( ), предпочтительнее ;
:
:
Необходимо найти наилучшее компромиссное решение по совокупности критериев, используя свертки , . При этом для взять веса критериев .
Решение. 1. Построим матрицу отношения . Будем считать все отношения транзитивными, т.е, если , а , то .
Воспользуемся соотношениями
Получим матрицу отношения (табл.9.7)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
2. Аналогично строим матрицу отношения (табл. 9.8)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
3. Аналогично строим матрицу отношения (табл. 9.9)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
4. Строим свертку отношений (табл. 9.10)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
5. Находим подмножество недоминируемых альтернатив
;
;
;
;
;
Таким образом, .
6. Строим н.о.п. (аддитивную свертку отношений ), , где ,
Ее функция принадлежности приведена в табл. 9.11.
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
0.5 |
1 |
|
|
0.4 |
1 |
0.7 |
0.4 |
|
|
0.4 |
0.7 |
1 |
0.4 |
|
|
0.6 |
0.6 |
0.6 |
1 |
7. Находим подмножество недоминируемых альтернатив для отношения :
;
;
;
;
;
Таким образом, .
8. Находим пересечение множеств , и вычисляем функцию принадлежности результирующего подмножества . Ее функция принадлежности равна ;
.
Таким образом, наилучшим выбором в рассмотренном случае является альтернатива -вложить ПИС в приватизацию жилья.