9.2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения , рассмотрим обычные отношения и их свойства.

Отношением  на множестве  называется некоторое подмножество декартова произведения .

В соответствии с этим определением задать отношение  на множестве означает указать все пары , которые связаны отношением . Для обозначения того, что элементы  связаны отношением, будем пользоваться следующими двумя эквивалентными формами записи:  или .

Если множество , на котором задано отношение , конечно, то отношение задается в двух формах:

1) в матричной

  ,

2) в графовой (рис. 9.5) .

                    рис. 9.5

Пусть на множестве  заданы два отношения  и  , множество  определяется матрицей  ,  , ,а -матрицей .

Тогда рассмотрим отношение , которое является объединением двух отношений:

 .

Если  является пересечением отношений  и  ( ), то

 .

Определение 9.15. Отношение  включает в себя отношение , если для соответствующих множеств  и  выполняется условие .

Определение 9.16. Если между  и  существует отношение  ,то обратным к нему называется такое отношение  ,что существует тогда и только тогда, когда . Если при этом ,  — матрицы этих отношений, то элементы этих матриц связаны соотношением

 , .

Определение 9.17. Произведение (композиция) отношений  на декартовом произведении  определяется следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует такой ,для которого выполнены одновременно отношения  и . При этом элементы матриц отношений связаны следующим образом

 .

Укажем основные свойства отношений:

1. Отношение  рефлексивно, если  или  для любого . Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел - отношение  (“больше-равно”).

2. Отношение на  антирефлексивно, если из того, что  следует . В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1, а антирефлексивного - 0.

3. Отношение  симметрично, если из того, что  следует . Матрица симметричного отношения – симметричная. Отношение называется антисимметричным, если из того, что  и , следует .

4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:

Нечеткие отношения.

Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства [37].

Определение 9.18. Нечетким отношением на множестве

называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности , что  . Причем  принимаается как субъективная мера выполнения отношения .

Пример 9.3. Пусть заданы:

а) четкое отношение , где ;

б) нечеткое отношение ;

                                                рис 9.6

На рис. 9.6.а приведены пары  из интервала , связанные отношением ,то есть такие, что . Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.

Строя нечеткое отношение  на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству  (например, точка ), а также те, которые определенно не принадлежат  (например, )

Кроме того имеется несчетное множество пар , о принадлежности которых к множеству  можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка ). Поэтому нечеткое множество  характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности  пары  следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 9.6. б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения  при фиксированном  .

Соответствующее семейство функций  приведено на рис. 9.6.в. Если отношение  на конечно, то его функция принадлежности  задается в виде квадратной матрицы  с элементами . Если , то это означает, что степень выполнения отношения  равна .

Носителем нечеткого отношения  на множестве  называется подмножество декартова произведения , определяемое так:

supp .

Операции над нечеткими отношениями.

Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности . Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и  на множестве ,если его функция принадлежности определяется выражением

 .

Аналогично множество является пересечением нечетких множеств  и , если

 .

Можно ввести также операции сильного объединения и сильного пересечения, аналогичные операциям над нечеткими множествами (см. определение 9.6, 9.8).

Нечеткое отношение включает в себя нечеткое отношение  , если для них выполняется соотношение  .

Если -нечеткое отношение с функцией принадлежности , то отношения , характеризующееся функцией принадлежности   называется дополнением  на множестве

Обратное к  отношение на  определяется следующим образом: , при этом функции принадлежности связаны между собою равенством .

Свойства нечетких отношений.

1. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется рефлексивным на , если выполняется условие (примеры рефлексивных отношений: примерно равно, близко)

2.  Антирефлексивность. Нечеткое отношение  на  антирефлексивно, если для всех  (Например — много больше)

3. Симметричность. Нечеткое отношение  на  симметрично, если для всех . Отношение  антисимметрично, если из того, что  следует .

Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.

Определение 9.19. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений  и на характеризуется функцией принадлежности вида

 .                    (9.2.1)

Определение 9.20. Минимаксная композиция нечетких отношений  и на (обозначается ) определяется функцией принадлежности вида

 .                  (9.2.2)

Определение 9.21. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений  и на  есть нечеткое отношение  с функцией принадлежности вида

 .                   (9.2.3)

Пример. Пусть заданы два нечетких отношения  и на множестве , состоящем из двух элементов , где матрицы нечетких отношений таковы:

Тогда композиция (произведение) нечетких отношений определяется так :

а) максиминная  

 ;

б) минимаксная  

 ;

в) максимультиплекативная  

 .

Нечеткое отношение  на множестве  называется транзитивным, если . Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения композиции нечетких отношений.

Рассмотрим минимаксную транзитивность, то есть . Если обозначить через  максиминную, минимаксную и максимультиплекативную композиции транзитивного отношения самого на себя (то есть   ), то можно убедиться в том, что

 .                             (9.2.4)

Действительно, при любых  выполняются неравенства ,

откуда и следует справедливость (9.2.4).