9.5. ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ ПРЕдпочтения. ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ.
Пусть на универсальном множестве 
задано нечеткое отношение предпочтения 
с функцией принадлежности 
. Пусть Y - класс всех нечетких подмножеств множества , т.е. класс всех функций вида 
. Сформулируем следующую задачу: определить, какое нечеткое отношение предпочтения отображает на класс Y исходное н.о.п.
Для решения этой задачи воспользуемся принципом обобщения, который был предложен Л.Заде. В его основе лежит определение нечеткого множества при обычном (четком) отображении.
Пусть 
- заданное отображение, 
- некоторое нечеткое подмножество множества 
с функцией принадлежности 
. В соответствии с принципом обобщения образ при отображении 
определяется как нечеткое подмножество множества , представляющее собой совокупность пар вида
, (9.5.1)
где 
- функция принадлежности образа.
Функцию принадлежности 
можно записать в виде
, (9.5.2)
где множество 
для любого фиксированного 
имеет вид 
т.е. представляет собой множество всех элементов 
, образом каждого из которых при отображении 
является элемент 
.
Применим принцип обобщения в форме (9.5.1) для расширения области определения нечеткого отображения [20; 137].
Нечеткое отображение можно описать как отображение, при котором каждому элементу ставится в соответствие не конкретный элемент множества , а в общем случае некоторое нечеткое подмножество множества . Нечеткое отображение описывается функцией вида 
, тогда функция 
при фиксированном 
есть функцией принадлежности нечеткого множества в ÎY, представляющего собой нечеткий образ элемента при данном отображении.
Например, для систем управления нечеткое множество можно трактовать как нечеткое описание реакции этой системы на управление . Итак, пусть 
- заданное нечеткое отображение, 
- нечеткое множество в , и необходимо найти образ 
нечеткого множества
при этом отображении. Если для этого применить принцип обобщения в форме (9.5.1), то получим совокупность пар вида 
, где 
при каждом фиксированном представляет собой
нечеткое подмножество множества . Получаем, что образ нечеткого множества 
в данном случае - это сложный объект: нечеткий подкласс класса всех нечетких подмножеств множества . Использование подобных объектов на практике весьма затруднительно. Поэтому С.А.Орловский предложил принцип обобщения в более удобной форме. В его основе лежит следующее определение образа нечеткого множества при нечетком отображении [37].
Определение 9.25. Образом нечеткого множества в при нечетком отображении называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
. (9.5.3).
В основе этого определения образа лежит максиминная композиция нечетких отношений и 
. Можно проверить, что в частном случае, когда - обычное (четкое) отображение вида 
(т.е. 
, при 
и 
для остальных пар 
), определение 9.25 дает
, (9.5.4)
что соответствует приведенному определению образа при обычном (четком) отображении на основе принципа обобщения Заде.
Иногда заданное нечеткое отображение может зависеть от 
переменных, т.е. иметь вид
,
где 
.
Пусть на множестве задано нечеткое подмножество 
. В общем случае его функция принадлежности задается так:
, (9.5.5)
где 
и 
- заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств 
и . Применив в этом случае принцип обобщения в форме (9.5.3), получим следующее выражение для функций принадлежности образа нечеткого множества
(9.5.6)
Обобщенное нечеткое отношение предпочтения.
Используем введенный выше принцип обобщения для решения задачи, сформулированной в начале разд. 9.5.
Рассмотрим заданное на множестве н.о.п. 
с функцией принадлежности 
.
Пусть 
- некоторое нечеткое подмножество множества . Тогда согласно принципу обобщения образ 
при нечетком отображении 
есть нечеткое подмножество с функцией принадлежности вида [20; 37]:
. (9.5.7)
Эта функция 
описывает обобщение отображения исходного н.о.п. на множество Y ´ Y. Иными словами, для фиксированного 
Y функция 
описывает нечеткое множество элементов , связанных с 
обобщенным отношением 
, т.е. таких 
, что 
. Следовательно, велечина 
есть степень, с которой нечеткое множество 
предпочтительнее элемента . Аналогично
(9.5.8)
есть степень обратного предпочтения 
.
Продолжим процесс обобщения исходного н.о.п. 
. Рассмотрим полученную функцию 
в (9.5.7) как нечеткое отображение 
, где 
- класс всех нечетких подклассов класса Y. Согласно принципу обобщения образом при нечетком отображении является нечеткий подкласс класса Y с функцией принадлежности вида
, (9.5.9)
причем его можно понимать как подкласс нечетких подмножеств в таких, что 
. Из (9.5.8), (9.5.9) получаем следующее выражение для функции принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения [20]:
(9.5.10)
Аналогично можно прийти к выводу о том, что обратное предпочтение 
выполняется со степенью, равной величине
. (9.5.11)
Пример 9.9. Пусть 
- числовая ось и заданное н.о.п. 
- естественный порядок на . Тогда равенства (9.5.7), ( 9.5.8) запишутся в виде
(9.5.12)
(9.5.13)
Пусть нечеткое множество 
имеет вид, показанный на рис. 9.7. Пользуясь выражениями (9.5.12), (9.5.13), получаем
, 
Заметим, что из определений отношений эквивалентности и строгого порядка, получаем:
эквивалентно 
со степенью 0.7;
строго лучше со степенью 0.3;
эквивалентно 
со степенью 0.7;
строго лучше со степенью 0.3;
Пример 9.10. Пусть 
- заданное нечеткое множество 
в 
, которое имеет функцию принадлежности 
, задаваемую в табл. 9.12, а нечеткое отношение 
имеет функцию принадлежности 
(табл. 9.13).
Таблица 9.12 |
Таблица 9.13 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
0.7 |
1.0 |
|
0.8 |
1 |
0 |
0.3 |
0.7 |
|
|
|
0.8 |
0.3 |
0.8 |
0.4 |
0.7 |
|||||
|
|
0.2 |
0.3 |
0.5 |
0.2 |
1 |
|||||
Найти образ нечеткого множества в , генерируемый отображением .
Решение. Согласно (9.5.3) найдем функцию принадлежности нечеткого множества 
:
Вычислим сначала 
. Для этого проведем операцию нахождения 
для всех элементов строки и столбца (табл. 9.13). Это дает
После выполнения операции 
на элементах полученного столбца получим: 
Таким образом, 
. Проделав аналогичные операции со строкой и всеми столбцами 
табл. 9.13, получим:
; 
; 
; 
Рассмотрим некоторые свойства введенного нами обобщенного нечеткого отношения предпочтения , которые определяются свойствами исходного отношения 
и классом нечетких множеств, на котором оно рассматривается.
Теорема 9.1. Если н.о.п. на рефлексивно, то и индуцированное им н.о.п. тоже рефлексивно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .
Доказательство. Если 
нормально, т.е. 
то из (9.5.10) получим
(9.5.14)
поскольку 
при любом , то отсюда заключаем, что 
. Теорема доказана. В следующих теоремах рассматривается вопрос линейности н.о.п.
Теорема 9.2. Если н.о.п. на l - сильно линейно, то и индуцированное им н.о.п. также сильно линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .
Теорема 9.3. Если н.о.п. на l - линейно, то и индуцированное им н.о.п. также линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества , обладающих свойством 
.
Доказательство этих теорем приводится в [37].
Таким образом, свойство линейности исходного н.о.п. переносится на индуцированное им обобщенное н.о.п.
Пример 9.11. Универсальное множество непрерывно. Пусть 
, а нечеткое множество в задано в виде 
. Нечеткое отношение 
имеет функцию принадлежности 
, при 
(функции и 
приведены на рис. 9.8.а, 9.8.б). Требуется найти образ в , генерируемый нечетким отношением .
Решение. Согласно (9.5.7) 
.
Определим минимум по 
для и .
Эти две кривые пересекаются в двух точках:
а) условие 
дает точку 
 |
б) условие
дает точку 
На рис. 9.8.в. сплошной линией выделена кривая 
, максимум которой достигается при 
. Таким образом, 
.
Пример 9.12. Пусть нечеткое множество на 
задано функцией принадлежности 
, где 
и задано на 
четкое отношение порядка 
, где 
. Найти образ множества в , генерируемый отношением 
.
Решение.
Рассмотрим два интервала:
а) для 
:
при 
б) для 
, т.е. достигает максимума при 
Итак, 
 |
Пример 9.13. Пусть заданы два нечетких множества
и 
на 
с функциями принадлежности 
и 
,где 
Пусть 
- четкое отношение нестрогого порядка 
, т.е.
Найти функцию принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения 
, генерируемого отношением на , .
В соответствии с соотношением (9.5.10)
Рассмотрим кривые 
(рис. 9.9) и найдем точки их пересечения.
Имеем 
. Найдем левую точку пересечения 
:
или 
Точка пересечения кривых определяется при 
.
а) Итак, на интервале 
;
б) на интервале 
, где - 
вторая(правая) точка пересечения кривых 
и 
;
в) на интервале 
.
Недоминируемые альтернативы в общей задаче
нечеткого математического программирования.
Рассмотрим в общем виде задачу нечеткого математического программирования и сведем ее к задаче принятия решений при нечетком отношении предпочтения [20; 37]
Формально задача НМП формулируется следующим образом.
Пусть - универсальное множество альтернатив и 
Задано нечеткое подмножество допустимых альтернатив. Пусть - универсальное множество оценок результатов альтернатив из множества и 
заданное на множестве н.о.п. Выборы альтернатив оцениваются нечеткими значениями заданной нечеткой функции цели 
Задача заключается в рациональном выборе альтернатив на основе информации, заданной в описанной выше форме. При анализе этой задачи будем считать для простоты, что множество допустимых альтернатив описано четко.
Построим на множестве н.о.п. индуцированное исходным н.о.п. и нечеткой функцией цели , а затем выделим в нем подмножество недоминируемых альтернатив.
Любой альтернативе 
заданная функция ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в виде нечеткого подмножества оценок 
на .
Пусть - н.о.п., индуцированное исходным отношением н.о.п. на классе Y всех нечетких подмножеств множества .
Пользуясь этим отношением, можно сравнивать по отношению предпочтения нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами эти альтернативы. Иными словами, степенью предпочтения альтернативы 
альтернативе будем 
считать степень предпочтения нечеткой оценки 
нечеткой оценке 
, т.е. положим
, (9.5.15)
где 
, - соответствующие 
и 
нечеткие подмножества оценок.
Таким образом, используя определение 
(см. раздел 9.4.) получаем н.о.п. на множестве альтернатив следующего вида
. (9.5.16)
|
определение (9.5.15) сводится к обычному (четкому) отношению предпочтения 
.
Действительно, в этом случае
Тогда равенство (9.5.15) будет иметь вид
Можно убедиться в том, что если функция нормальная (
), то н.о.п. рефлексивно, т.е.,
.
Выделим в множестве с н.о.п. нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Согласно определению 
оно задается так
. (9.5.17)
Окуда с учетом (9.5.15) получаем
(9.5.18)
Рассмотрим более простую, но практически важную задачу, когда множество оценок - числовая ось. Тогда выражение (9.5.15) принимает вид
, (9.5.19)
а решением соответствующей задачи НМП является нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив вида
(9.5.20)
Величина 
есть степень недоминируемости альтернативы 
. Если 
, то в множестве нет ни одной альтернативы, которая бы доминировала альтернативу со степенью , большей, чем 
. Покажем, что для нахождения альтернативы, не доминируемой со степенью, не меньшей, чем 
, достаточно решить следующую задачу НМП
(9.5.21)
при ограничениях 
.
Теорема 9.4. Пусть нечеткая целевая функция 
такова, что 
при любом и пусть - н.о.п. на , индуцированное отношением нестрогого порядка
на числовой оси и функцией . Если 
- решение задачи (9.5.21), то 
, где - нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве 
.
Доказательство. Пусть пара 
- решение задачи (9.5.21). Тогда, как следует из (9.5.20), для доказательства теоремы 9.4. достаточно показать, что
Допустим противное, т.е., найдутся 
и 
такие, для которых
(9.5.22)
Выберем 
так, что 
(существование такого 
следует из предположений о функции в условиях теоремы 9.4).
Поскольку пара - решение задачи (9.5.21), то 
и, кроме того 
. Отсюда 
, но тогда неравенство (9.5.22) невозможно, так как левое слагаемое в левой части (9.5.22) не может превышать 1.
Из доказанной теоремы вытекает, что любые условия, достаточные для решения задачи (9.5.21), достаточны и для существования соответствующих недоминируемых альтернатив в множестве. В частности, справедлива следующая теорема [37].
Теорема 9.5. Если множества и компактны, причем 
- подмножество числовой оси, функция 
полунепрерывна на произведении 
при любом и н.о.п. на , индуцированное отношением порядка на и функцией , то во множестве 
имеется, по крайней мере, одна альтернатива , для которой .
