9.2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения , рассмотрим обычные отношения и их свойства.
Отношением 
на множестве 
называется некоторое подмножество декартова произведения 
.
В соответствии с этим определением задать отношение на множестве означает указать все пары 
, которые связаны отношением . Для обозначения того, что элементы 
связаны отношением, будем пользоваться следующими двумя эквивалентными формами записи: 
или 
.
Если множество , на котором задано отношение , конечно, то отношение задается в двух формах:
1) в матричной
,
2) в графовой (рис. 9.5) .
рис. 9.5
Пусть на множестве заданы два отношения 
и 
, множество определяется матрицей 
, ,
,а -матрицей 
.
Тогда рассмотрим отношение 
, которое является объединением двух отношений:
.
Если 
является пересечением отношений 
и 
(
), то
.
Определение 9.15. Отношение включает в себя отношение , если для соответствующих множеств 
и 
выполняется условие 
.
Определение 9.16. Если между 
и 
существует отношение ,то обратным к нему называется такое отношение 
,что 
существует тогда и только тогда, когда 
. Если при этом 
, 
- матрицы этих отношений, то элементы этих матриц связаны соотношением
,
.
Определение 9.17. Произведение (композиция) отношений 
на декартовом произведении определяется следующим образом: 
тогда и только тогда, когда существует такой 
,для которого выполнены одновременно отношения 
и 
. При этом элементы матриц отношений связаны следующим образом
.
Укажем основные свойства отношений:
1. Отношение рефлексивно, если 
или 
для любого . Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел - отношение 
('больше-равно').
2. Отношение на антирефлексивно, если из того, что следует
. В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1, а антирефлексивного - 0.
3. Отношение симметрично, если из того, что следует . Матрица симметричного отношения - симметричная. Отношение называется антисимметричным, если из того, что и , следует 
.
4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:
Нечеткие отношения.
Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства [37].
Определение 9.18. Нечетким отношением на множестве
называется нечеткое подмножество декартова произведения , которое характеризуется такой функцией принадлежности 
, что 
. Причем принимаается как субъективная мера выполнения отношения .
Пример 9.3. Пусть заданы:
а) четкое отношение 
, где 
;
б) нечеткое отношение 
;
рис 9.6
На рис. 9.6.а приведены пары 
из интервала 
, связанные отношением 
,то есть такие, что
. Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.
Строя нечеткое отношение 
на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары , которые можно определенно отнести ко множеству (например, точка 
), а также те, которые определенно не принадлежат (например, 
)
Кроме того имеется несчетное множество пар , о принадлежности которых к множеству можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка 
). Поэтому нечеткое множество характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества , и степень принадлежности 
пары следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 9.6. б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения при фиксированном 
.
Соответствующее семейство функций 
приведено на рис. 9.6.в. Если отношение на 
конечно, то его функция принадлежности 
задается в виде квадратной матрицы 
с элементами 
. Если 
, то это означает, что степень выполнения отношения 
равна 
.
Носителем нечеткого отношения на множестве называется подмножество декартова произведения , определяемое так:
supp
.
Операции над нечеткими отношениями.
Пусть на множестве заданы два нечетких отношения и с функциями принадлежности 
. Тогда множество представляет собой объединение нечетких отношений и на множестве ,если его функция принадлежности определяется выражением
.
Аналогично множество является пересечением нечетких множеств и , если
.
Можно ввести также операции сильного объединения и сильного пересечения, аналогичные операциям над нечеткими множествами (см. определение 9.6, 9.8).
Нечеткое отношение включает в себя нечеткое отношение 
, если для них выполняется соотношение 
.
Если -нечеткое отношение с функцией принадлежности , то отношения 
, характеризующееся функцией принадлежности 
называется дополнением на множестве 
Обратное к отношение на определяется следующим образом: 
, при этом функции принадлежности связаны между собою равенством 
.
Свойства нечетких отношений.
1. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется рефлексивным на , если выполняется условие 
(примеры рефлексивных отношений: примерно равно, близко)
2. Антирефлексивность. Нечеткое отношение на антирефлексивно, если для всех 
(Например - много больше)
3. Симметричность. Нечеткое отношение на симметрично, если для всех 
. Отношение антисимметрично, если из того, что 
следует 
.
Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.
Определение 9.19. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений и на характеризуется функцией принадлежности вида
. (9.2.1)
Определение 9.20. Минимаксная композиция нечетких отношений и на (обозначается 
) определяется функцией принадлежности вида
. (9.2.2)
Определение 9.21. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений и на есть нечеткое отношение 
с функцией принадлежности вида
. (9.2.3)
Пример. Пусть заданы два нечетких отношения 
и на множестве , состоящем из двух элементов 
, где матрицы нечетких отношений таковы:
Тогда композиция (произведение) нечетких отношений определяется так :
а) максиминная 
;
б) минимаксная 
;
в) максимультиплекативная 
.
Нечеткое отношение на множестве называется транзитивным, если . Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения композиции нечетких отношений.
Рассмотрим минимаксную транзитивность, то есть 
. Если обозначить через 
максиминную, минимаксную и максимультиплекативную композиции транзитивного отношения самого на себя (то есть 
), то можно убедиться в том, что
. (9.2.4)
Действительно, при любых 
выполняются неравенства 
,
откуда и следует справедливость (9.2.4).
