В задачах организационного управления часто встречаются ситуации, в которых исходные условия задачи нечетко определены. Такие ситуации отражают недостаточную информированность лица, принимающего решение (ЛПР).
Используемая информация может быть субъективной, а ее представление в языке людей, как правило, содержит большое число неопределенностей типа 'много', 'мало', 'приблизительно', которые не имеют аналогов в языке математики. Поэтому описание этой информации средствами традиционной математики сильно огрубляет математическую модель. Таким образом, для дальнейшего применения математических методов для анализа и исследования все более усложняющихся систем потребовалось создание нового математического аппарата, позволяющего формально описывать нечеткие понятия, которыми оперирует человек, описывая свои желания, цели и представления о системе.
Таким аппаратом является постоянная теория нечетких множеств, созданная Л.Заде, первая фундаментальная работа которого была опубликована еще в 1965 г.[65]. На протяжении последних тридцати лет это новое направление интенсивно развивалось, появились сотни работ, посвященных теоретическим и прикладным аспектам теории нечетких множеств. Ярким свидетельством постоянно растущего интереса к этому направлению в теории принятия решений является, в частности, организация в 1978 г. специального международного журнала 'Fuzzy Sets and Systems', посвященного проблемам теории нечетких множеств. Одним из наиболее актуальных направлений новой теории стала проблема принятия решений при нечетких условиях и критериях, которая привела к появлению нового направления в математическом программировании - нечеткого математического программирования (НМП). В этой главе изложены основные идеи и методы нечеткого математического программирования.
9.1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
Основные понятия и определения.
Определение 9.1. Нечетким множеством 
, заданном на универсальном множестве 
, называется совокупность пар вида 
, где 
,а 
- функция 
, которая называется функцией принадлежности множества . Значение 
для конкретного 
называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству (рис. 9.1.а)
Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества 
является его характеристическая функция 
(рис. 9.1.б)
 |
Определение 9.2. Нечеткое множество 
,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть 
.
Определение 9.3. Универсальное множество описывается функцией принадлежности вида 
.
Определение 9.4. Носителем нечеткого множества с функцией принадлежности
называется множество вида
supp
.
Нечеткое множество 
называется нормальным, если выполняется
условие 
, в противном случае оно называется субнормальным.
Пусть и 
- нечеткие множества на 
, и 
- их функции принадлежности соответственно.
Говорят, что включает в себя (то есть 
), если для любого выполняется неравенство 
(рис. 9.2).
Если ,то supp
supp 
Множества 
эквивалентны (
), если 
,
.
Пример 9.1. Рассмотрим нечеткие множества
Тогда 
и функции принадлежности этих
множеств должны удовлетворять условию
,
.
 |
 |
Операции над нечеткими множествами.
Определение 9.5. Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество 
с функцией принадлежности вида (рис.9.3)
. (9.1.1)
Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество 
с функцией принадлежности 
Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество 
с функцией принадлежности вида (рис.9.4)
=
;
. (9.1.2)
Если 
- конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности 
, где 
- параметр семейства, то пересечение 
является нечетким множеством с функцией принадлежности вида
, .
Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество 
с функцией принадлежности вида
, . (9.1.3)
Определение 9.10. Разностью нечетких множеств и в называется нечеткое множество 
с функцией принадлежности вида
(9.1.4)
Определение 9.11. Декартовым произведением 
нечетких множеств 
в 
называется нечеткое множество в декартовом произведения 
с функцией принадлежности вида
. (9.1.5)
Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств 
на называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
, где 
. (9.1.6)
Определение 9.13.Операции концентрирования 
и растяжения 
нечеткого множества определяются следующим образом:
.
Или в общем случае
,
где 
, 
-целое 
.
Множества уровня и декомпозиции нечетких множеств.
Определение 9.14. Множеством уровня 
нечеткого множества в называется множество, составленное из элементов , степень принадлежности которых к множеству не меньше , то есть, если
-множество уровня нечеткого множества , то
. (9.1.7)
Справедливы следующие соотношения [18; 48]
;
. (9.1.8)
Если для операции объединения и пересечения используются соответствующие сильные определения, то
; 
. (9.1.9)
В некоторых случаях целесообразно пользоваться раскложением нечеткого множества 
по его множествам уровня, а именно представлением нечеткого множества в виде
, (9.1.10)
где 
, а объединение нечетких множеств берется согласно к определению (9.1.10) по всем от 0 до 1.
Пример 9.2. Пусть 
,а функция принадлежности нечеткого множества 
в 
задана табл. 9.1.
Таблица 9.1
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1 |
Тогда для множестве можно записать следующие множества уровня:
; 
; 
; 
; 
;
.
А нечеткое множество представить в виде
