Eng | Rus | Ukr | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Исследование операций
|
29.09.2004
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.7. многокритериальные ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ КАК ЗАДАЧИ НЕЧЕТКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.В предыдущем разделе рассмотрена задача НМП с нечеткими параметрами в целевой функции и ограничениях. Для ее решения был применен метод нахождения недоминируемых альтернатив с заданной степенью , которая базируется на нечетком отношении предпочтения альтернатив. Возможен и другой подход к решению таких задач, основанный на переходе от исходной задачи НМП к задаче многокритериальной оптимизации с дальнейшим применением соответствующего математического аппарата. Задачи линейного программирования с нечеткими
|
|
|
Чтобы учесть информацию обо всех множествах - уровня, необходимо найти решение следующей задачи векторной оптимизации V
V) . (9.7.18)
Пример 9.19. Для задачи, приведенной в примере 9.18, предположим, что ф.п. и , приведены на рис. 9.11, 9.12 соответственно отображают информацию ЛПР.
Интервалы, показанные на рис. 9.11, 9.12 являются -сечениями, где , и равны соответственно:
Оптимизационные задачи (9.7.16), соответствующие этим -сечениям являются указанными выше значениями, имеют следующие решения:
а) соответствует ломаной линии от через на рис. 9.13;
б) соответствует ломаной линии от через ;
в) соответствует ломаной линии от через
г) соответствует ломаной линии от через
Для каждой из этих оптимизационых задач с интервально оцениваемыми коэффициентами (параметрами) компромиссное решение можно вычислить путем формирования соответствующей задачи ЛП вида (9.7.13).
В случае использования линейных функций компромиссное решение задачи (9.7.18) можно получить как решение следующей задачи ЛП.
VI: Найти
при условиях
(9.7.19)
Замечание. Если ограничения содержат также нечеткие коэффициенты, то такие нечеткие ограничения следует заменить на систему ограничений с интервально заданными коэффициентами. Поэтому - сечения ( ) должны быть сформированы для каждого значения нечеткого параметра таким образом, чтобы получить различные системы ограничений вида (9.7.20).
Если обозначить множество допустимых решений задачи (9.7.20) через , то множество допустимых решений соответствующих моделей (9.7.18) есть подмножество множества .
МДР задачи (9.7.19) получим, дополнительно рассматривая ограничения .
Для учета влияния всех задач на компромиссное решение существенно важно, чтобы ни для одного уровня соответствующее полное решение не состояло из одного элемента или не было пустым.
Пример 9.20. Для оптимизационной задачи в примере множество допустимых решений (МДР) VI представляет симплекс с крайними точками на рис. 9.13, а полное решение соответствует ломаной линии от к . Соответствующее компромиссное решение задачи VI имеет вид:
максимизировать
при условиях
Решив эту задачу, получим .
Это оптимальное решение дает следующее среднее значение ц.ф.
где .
Чтобы оценить точнее качество полученного решения , предлагается определять значения функции принадлежности этого решения для всех целевых функций, соответствующих крайним точкам (т.е. ).
Эти значения отражают степень (уровень) удовлетворенности ЛПР достигнутыми значениями ц.ф. .
В частности, для линейных ц.ф. вычисляем
. (9.7.22)
В табл. 9.15 приведены значения функции принадлежности для примера 9.20. Их анализ показывает, что соответствующий диапазон возможного улучшения использован не менее, чем на для целевых функций всех крайних точек.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним с данной позиции эти результаты с результатами примера 9.18, где учитывался только уровень . Вычисленное компромиссное решение дает очень высокую степень удовлетворения (принадлежности) для обоих учтенных ц.ф. .
Вместе с тем, игнорирование других -уровней (при ), т.е. отказ от использования информации о шансах появления коэффициентов ц.ф. для этих значений , имеет тот недостаток, что получаются более худшие результаты для ряда ц.ф. Например, и (табл.9.16). Так для ц.ф. решение приводит к недопустимому значению .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, при использовании дополнительной информации по различным - уровням получается более качественное решение.
С другой стороны, следует ожидать другого решения, если ЛПР ориентируется только на ц.ф. со значениями функций принадлежности, большими или равными 0,75 .
Соответствующая оптимизационная модель VI при дает решение
Следовательно, решение оказывается весьма хорошим, если ЛПР желает учесть только этот малый интервал вариации . Однако это решение ведет к заметно худшим результатам, если истинными оказываются значения коэффициентов вне этого узкого диапазона (табл.9.17).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если функцию заменить так, что крутизна справа от пика несколько уменьшится (рис.9.14), а другую функцию оставить неизменной, то МДР системы будут обладать свойством
В этом случае оптимизационная задача VIII будет иметь решение
Если этот результат проанализировать с точки зрения степеней удовлетворения, достигаемой для ц.ф. при различных -уровнях, то, как следует из табл.9.18, компромиссное решение определяют ц.ф., для которых значение ц.ф. наименьшие.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если игнорировать уровень , то оптимизационная модель VIII будет иметь решение .
Таким образом, использование более широкого диапазона -уровней в модели оптимизации обеспечивает значительно высокий уровень устойчивости полученных решений и, следовательно, более качественное решение задачи ЛП с нечеткой целевой функцией.