9.5. ОБОБЩЕНИЕ НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ ПРЕдпочтения. ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ.

Пусть на универсальном множестве  задано нечеткое отношение предпочтения  с функцией принадлежности . Пусть Y – класс всех нечетких подмножеств множества , т.е. класс всех функций вида  . Сформулируем следующую задачу: определить, какое нечеткое отношение предпочтения отображает на класс Y исходное н.о.п.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом обобщения, который был предложен Л.Заде. В его основе лежит определение нечеткого множества при обычном (четком) отображении.

Пусть  – заданное отображение,  — некоторое нечеткое подмножество множества  с функцией принадлежности . В соответствии с принципом обобщения образ  при отображении  определяется как нечеткое подмножество множества , представляющее собой совокупность пар вида

 ,                       (9.5.1)

где  – функция принадлежности образа.

Функцию принадлежности  можно записать в виде

 ,                        (9.5.2)

где множество  для любого фиксированного  имеет вид  т.е.  представляет собой множество всех элементов , образом каждого из которых при отображении  является элемент .

Применим принцип обобщения в форме (9.5.1) для расширения области определения нечеткого отображения [20; 137].

Нечеткое отображение можно описать как отображение, при котором каждому элементу  ставится в соответствие не конкретный элемент множества , а в общем случае некоторое нечеткое подмножество множества . Нечеткое отображение описывается функцией вида , тогда функция  при фиксированном  есть функцией принадлежности нечеткого множества в ÎY, представляющего собой нечеткий образ элемента  при данном отображении.

Например, для систем управления нечеткое множество  можно трактовать как нечеткое описание реакции этой системы на управление . Итак, пусть  – заданное нечеткое отображение,  — нечеткое множество в , и необходимо найти образ  нечеткого множества  
при этом отображении. Если для этого применить принцип обобщения в форме (9.5.1), то получим совокупность пар вида , где  при каждом фиксированном  представляет собой

нечеткое подмножество множества . Получаем, что образ нечеткого множества  в данном случае – это сложный объект: нечеткий подкласс класса всех нечетких подмножеств множества . Использование подобных объектов на практике весьма затруднительно. Поэтому С.А.Орловский предложил принцип обобщения в более удобной форме. В его основе лежит следующее определение образа нечеткого множества при нечетком отображении [37].

Определение 9.25. Образом  нечеткого множества  в  при нечетком отображении  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

 .                     (9.5.3).

В основе этого определения образа лежит максиминная композиция нечетких отношений  и . Можно проверить, что в частном случае, когда  – обычное (четкое) отображение вида  (т.е. , при  и  для остальных пар  ), определение 9.25 дает

 ,                                 (9.5.4)

что соответствует приведенному определению образа при обычном (четком) отображении на основе принципа обобщения Заде.

Иногда заданное нечеткое отображение  может зависеть от  переменных, т.е. иметь вид

 ,

где                                        .

Пусть на множестве  задано нечеткое подмножество . В общем случае его функция принадлежности задается так:

 ,    (9.5.5)

где  и  – заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств  и . Применив в этом случае принцип обобщения в форме (9.5.3), получим следующее выражение для функций принадлежности образа нечеткого множества

     (9.5.6)

Обобщенное нечеткое отношение предпочтения.

Используем введенный выше принцип обобщения для решения задачи, сформулированной  в начале разд. 9.5.

Рассмотрим заданное на множестве  н.о.п.  с функцией принадлежности  .

Пусть – некоторое нечеткое подмножество множества . Тогда согласно принципу обобщения образ  при нечетком отображении  есть нечеткое подмножество  с функцией принадлежности вида [20; 37]:

 .                        (9.5.7)

Эта функция  описывает обобщение отображения исходного н.о.п. на множество Y ´ Y. Иными словами, для фиксированного Y функция  описывает нечеткое множество элементов , связанных с  обобщенным отношением , т.е. таких , что . Следовательно, велечина  есть степень, с которой нечеткое множество  предпочтительнее элемента . Аналогично

                     (9.5.8)

есть степень обратного предпочтения .

Продолжим процесс обобщения исходного н.о.п. . Рассмотрим полученную функцию  в (9.5.7) как нечеткое отображение , где  – класс всех нечетких подклассов класса Y. Согласно принципу обобщения образом  при нечетком отображении  является нечеткий подкласс класса Y с функцией принадлежности вида

 ,                 (9.5.9)

причем его можно понимать как подкласс нечетких подмножеств в  таких, что . Из (9.5.8), (9.5.9) получаем следующее выражение для функции принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения [20]:

          (9.5.10)

Аналогично можно прийти к выводу о том, что обратное предпочтение  выполняется со степенью, равной величине

 .                (9.5.11)

Пример 9.9. Пусть  – числовая ось и заданное н.о.п.  – естественный порядок на . Тогда равенства (9.5.7), ( 9.5.8) запишутся в виде

                                                          (9.5.12)

                                                      (9.5.13)

Пусть нечеткое множество  имеет вид, показанный на рис. 9.7. Пользуясь выражениями (9.5.12), (9.5.13), получаем

 ,

Заметим, что из определений отношений эквивалентности и строгого порядка, получаем:

 эквивалентно  со степенью 0.7;

 строго лучше  со степенью 0.3;

 эквивалентно  со степенью 0.7;

 строго лучше  со степенью 0.3;

Пример 9.10. Пусть – заданное нечеткое множество  в , которое имеет функцию принадлежности , задаваемую в табл. 9.12, а нечеткое отношение  имеет функцию принадлежности  (табл. 9.13).

Таблица 9.12					Таблица 9.13
					\
	0.3	0.7	1.0			0.8	1	0	0.3	0.7
						0.8	0.3	0.8	0.4	0.7
						0.2	0.3	0.5	0.2	1

Найти образ  нечеткого множества  в , генерируемый отображением .

Решение. Согласно (9.5.3) найдем функцию принадлежности нечеткого множества :

Вычислим сначала . Для этого проведем операцию нахождения  для всех элементов строки  и столбца  (табл. 9.13). Это дает

После выполнения операции  на элементах полученного столбца получим:  Таким образом, . Проделав аналогичные операции со строкой и всеми столбцами  табл. 9.13, получим:

 ; ; ;

Рассмотрим некоторые свойства введенного нами обобщенного нечеткого отношения предпочтения , которые определяются свойствами исходного отношения  и классом нечетких множеств, на котором оно рассматривается.

Теорема 9.1. Если н.о.п.  на  рефлексивно, то и индуцированное им н.о.п.  тоже рефлексивно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .

Доказательство. Если  нормально, т.е.  то из (9.5.10) получим

  (9.5.14)

поскольку  при любом , то отсюда заключаем, что . Теорема доказана. В следующих теоремах рассматривается вопрос линейности н.о.п.

Теорема 9.2. Если н.о.п.  на l - сильно линейно, то и индуцированное им н.о.п.  также сильно линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .

Теорема 9.3. Если н.о.п.  на l - линейно, то и индуцированное им н.о.п.  также линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества  , обладающих свойством  .

Доказательство этих теорем приводится в [37].

Таким образом, свойство линейности исходного н.о.п.  переносится на индуцированное им обобщенное н.о.п.

Пример 9.11. Универсальное множество  непрерывно. Пусть , а нечеткое множество  в задано в виде . Нечеткое отношение  имеет функцию принадлежности , при  (функции и  приведены на рис. 9.8.а, 9.8.б). Требуется найти образ  в , генерируемый нечетким отношением  .

Решение. Согласно (9.5.7) .

Определим минимум по для и  .

Эти две кривые пересекаются в двух точках:

а) условие дает точку

б) условие  дает точку

На рис. 9.8.в. сплошной линией выделена кривая , максимум которой достигается при  . Таким образом,  .

Пример 9.12. Пусть нечеткое множество  на  задано функцией принадлежности , где  и задано на четкое отношение порядка , где . Найти образ множества  в , генерируемый отношением .

Решение.

Рассмотрим два интервала:

а) для :

 при

б) для  

 , т.е. достигает максимума при

Итак,

Пример 9.13. Пусть заданы два нечетких множества  и  на  с функциями принадлежности  и  ,где

Пусть  – четкое отношение нестрогого порядка , т.е.

Найти функцию принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения , генерируемого отношением  на , .

В соответствии с соотношением (9.5.10)

Рассмотрим кривые (рис. 9.9) и найдем точки их пересечения.

Имеем . Найдем левую точку пересечения :

или

Точка пересечения кривых определяется при .

а) Итак, на интервале

 ;

б) на интервале , где –  вторая(правая) точка пересечения кривых  и  ;

в) на интервале .

Недоминируемые альтернативы в общей задаче
нечеткого математического программирования.

Рассмотрим в общем виде задачу нечеткого математического программирования и сведем ее к задаче принятия решений при нечетком отношении предпочтения [20; 37]

Формально задача НМП формулируется следующим образом.

Пусть – универсальное множество альтернатив и

Задано нечеткое подмножество допустимых альтернатив. Пусть  - универсальное множество оценок результатов альтернатив из множества  и  заданное на множестве н.о.п. Выборы альтернатив оцениваются нечеткими значениями заданной нечеткой функции цели

Задача заключается в рациональном выборе альтернатив на основе информации, заданной в описанной выше форме. При анализе этой задачи будем считать для простоты, что множество допустимых альтернатив  описано четко.

Построим на множестве  н.о.п. индуцированное исходным н.о.п.  и нечеткой функцией цели , а затем выделим в нем подмножество недоминируемых альтернатив.

Любой альтернативе  заданная функция  ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в виде нечеткого подмножества оценок  на .

Пусть  – н.о.п., индуцированное исходным отношением н.о.п. на классе Y всех нечетких подмножеств множества .

Пользуясь этим отношением, можно сравнивать по отношению предпочтения нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами эти альтернативы. Иными словами, степенью предпочтения альтернативы альтернативе будем  считать степень предпочтения нечеткой оценки  нечеткой оценке  , т.е. положим

 ,                       (9.5.15)

где  ,  — соответствующие  и  нечеткие подмножества оценок.

Таким образом, используя определение (см. раздел 9.4.) получаем н.о.п. на множестве альтернатив следующего вида

 .       (9.5.16)

≽

Заметим, что в аналогичной задаче с четко описанной ц.ф.  определение (9.5.15) сводится к обычному (четкому) отношению предпочтения .

Действительно, в этом случае

Тогда равенство (9.5.15) будет иметь вид

Можно убедиться в том, что если функция  нормальная (), то н.о.п. рефлексивно, т.е., .

Выделим в множестве  с н.о.п.  нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Согласно определению  оно задается так

 .                  (9.5.17)

Окуда с учетом (9.5.15) получаем

      (9.5.18)

Рассмотрим более простую, но практически важную задачу, когда множество оценок  – числовая ось. Тогда выражение (9.5.15) принимает вид

 ,               (9.5.19)

а решением соответствующей задачи НМП является нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив вида

            (9.5.20)

Величина  есть степень недоминируемости альтернативы . Если , то в множестве  нет ни одной альтернативы, которая бы доминировала альтернативу  со степенью , большей, чем . Покажем, что для нахождения альтернативы, не доминируемой со степенью, не меньшей, чем , достаточно решить следующую задачу НМП

                                 (9.5.21)

при ограничениях                 .

Теорема 9.4. Пусть нечеткая целевая функция  такова, что  при любом  и пусть  - н.о.п. на ,  индуцированное отношением нестрогого порядка на числовой оси  и функцией . Если  – решение задачи (9.5.21), то , где – нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве .

Доказательство. Пусть пара – решение задачи (9.5.21). Тогда, как следует из (9.5.20), для доказательства теоремы 9.4. достаточно показать, что

Допустим противное, т.е., найдутся и  такие, для которых

                  (9.5.22)

Выберем  так, что  (существование такого  следует из предположений о функции в условиях теоремы 9.4).

Поскольку пара  – решение задачи (9.5.21), то и, кроме того . Отсюда , но тогда неравенство (9.5.22) невозможно, так как левое слагаемое в левой части (9.5.22) не может превышать 1.

Из доказанной теоремы вытекает, что любые условия, достаточные для решения задачи (9.5.21), достаточны и для существования соответствующих недоминируемых альтернатив в множестве. В частности, справедлива следующая теорема [37].

Теорема 9.5. Если множества  и  компактны, причем - подмножество числовой оси, функция  полунепрерывна на произведении  при любом  и  н.о.п. на , индуцированное отношением порядка на  и функцией , то во множестве  имеется, по крайней мере, одна альтернатива , для которой .