Пусть на универсальном множестве задано нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности . Пусть Y – класс всех нечетких подмножеств множества , т.е. класс всех функций вида . Сформулируем следующую задачу: определить, какое нечеткое отношение предпочтения отображает на класс Y исходное н.о.п.
Для решения этой задачи воспользуемся принципом обобщения, который был предложен Л.Заде. В его основе лежит определение нечеткого множества при обычном (четком) отображении.
Пусть – заданное отображение, — некоторое нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности . В соответствии с принципом обобщения образ при отображении определяется как нечеткое подмножество множества , представляющее собой совокупность пар вида
, (9.5.1)
где – функция принадлежности образа.
Функцию принадлежности можно записать в виде
, (9.5.2)
где множество для любого фиксированного имеет вид т.е. представляет собой множество всех элементов , образом каждого из которых при отображении является элемент .
Применим принцип обобщения в форме (9.5.1) для расширения области определения нечеткого отображения [20; 137].
Нечеткое отображение можно описать как отображение, при котором каждому элементу ставится в соответствие не конкретный элемент множества , а в общем случае некоторое нечеткое подмножество множества . Нечеткое отображение описывается функцией вида , тогда функция при фиксированном есть функцией принадлежности нечеткого множества в ÎY, представляющего собой нечеткий образ элемента при данном отображении.
Например, для систем управления нечеткое множество можно трактовать как нечеткое описание реакции этой системы на управление . Итак, пусть – заданное нечеткое отображение, — нечеткое множество в , и необходимо найти образ нечеткого множества
при этом отображении. Если для этого применить принцип обобщения в форме (9.5.1), то получим совокупность пар вида , где при каждом фиксированном представляет собой
нечеткое подмножество множества . Получаем, что образ нечеткого множества в данном случае – это сложный объект: нечеткий подкласс класса всех нечетких подмножеств множества . Использование подобных объектов на практике весьма затруднительно. Поэтому С.А.Орловский предложил принцип обобщения в более удобной форме. В его основе лежит следующее определение образа нечеткого множества при нечетком отображении [37].
Определение 9.25. Образом нечеткого множества в при нечетком отображении называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
. (9.5.3).
В основе этого определения образа лежит максиминная композиция нечетких отношений и . Можно проверить, что в частном случае, когда – обычное (четкое) отображение вида (т.е. , при и для остальных пар ), определение 9.25 дает
, (9.5.4)
что соответствует приведенному определению образа при обычном (четком) отображении на основе принципа обобщения Заде.
Иногда заданное нечеткое отображение может зависеть от переменных, т.е. иметь вид
,
где .
Пусть на множестве задано нечеткое подмножество . В общем случае его функция принадлежности задается так:
, (9.5.5)
где и – заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств и . Применив в этом случае принцип обобщения в форме (9.5.3), получим следующее выражение для функций принадлежности образа нечеткого множества
(9.5.6)
Используем введенный выше принцип обобщения для решения задачи, сформулированной в начале разд. 9.5.
Рассмотрим заданное на множестве н.о.п. с функцией принадлежности .
Пусть – некоторое нечеткое подмножество множества . Тогда согласно принципу обобщения образ при нечетком отображении есть нечеткое подмножество с функцией принадлежности вида [20; 37]:
. (9.5.7)
Эта функция описывает обобщение отображения исходного н.о.п. на множество Y ´ Y. Иными словами, для фиксированного Y функция описывает нечеткое множество элементов , связанных с обобщенным отношением , т.е. таких , что . Следовательно, велечина есть степень, с которой нечеткое множество предпочтительнее элемента . Аналогично
(9.5.8)
есть степень обратного предпочтения .
Продолжим процесс обобщения исходного н.о.п. . Рассмотрим полученную функцию в (9.5.7) как нечеткое отображение , где – класс всех нечетких подклассов класса Y. Согласно принципу обобщения образом при нечетком отображении является нечеткий подкласс класса Y с функцией принадлежности вида
, (9.5.9)
причем его можно понимать как подкласс нечетких подмножеств в таких, что . Из (9.5.8), (9.5.9) получаем следующее выражение для функции принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения [20]:
(9.5.10)
Аналогично можно прийти к выводу о том, что обратное предпочтение выполняется со степенью, равной величине
. (9.5.11)
Пример 9.9. Пусть – числовая ось и заданное н.о.п. – естественный порядок на . Тогда равенства (9.5.7), ( 9.5.8) запишутся в виде
(9.5.12)
(9.5.13)
Пусть нечеткое множество имеет вид, показанный на рис. 9.7. Пользуясь выражениями (9.5.12), (9.5.13), получаем
,
Заметим, что из определений отношений эквивалентности и строгого порядка, получаем:
эквивалентно со степенью 0.7;
строго лучше со степенью 0.3;
эквивалентно со степенью 0.7;
строго лучше со степенью 0.3;
Пример 9.10. Пусть – заданное нечеткое множество в , которое имеет функцию принадлежности , задаваемую в табл. 9.12, а нечеткое отношение имеет функцию принадлежности (табл. 9.13).
Таблица 9.12 |
Таблица 9.13 |
|||||||||
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
0.3 |
0.7 |
1.0 |
|
0.8 |
1 |
0 |
0.3 |
0.7 |
|
|
0.8 |
0.3 |
0.8 |
0.4 |
0.7 |
|||||
|
0.2 |
0.3 |
0.5 |
0.2 |
1 |
Найти образ нечеткого множества в , генерируемый отображением .
Решение. Согласно (9.5.3) найдем функцию принадлежности нечеткого множества :
Вычислим сначала . Для этого проведем операцию нахождения для всех элементов строки и столбца (табл. 9.13). Это дает
После выполнения операции на элементах полученного столбца получим: Таким образом, . Проделав аналогичные операции со строкой и всеми столбцами табл. 9.13, получим:
; ; ;
Рассмотрим некоторые свойства введенного нами обобщенного нечеткого отношения предпочтения , которые определяются свойствами исходного отношения и классом нечетких множеств, на котором оно рассматривается.
Теорема 9.1. Если н.о.п. на рефлексивно, то и индуцированное им н.о.п. тоже рефлексивно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .
Доказательство. Если нормально, т.е. то из (9.5.10) получим
(9.5.14)
поскольку при любом , то отсюда заключаем, что . Теорема доказана. В следующих теоремах рассматривается вопрос линейности н.о.п.
Теорема 9.2. Если н.о.п. на l - сильно линейно, то и индуцированное им н.о.п. также сильно линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества .
Теорема 9.3. Если н.о.п. на l - линейно, то и индуцированное им н.о.п. также линейно на классе всех нормальных нечетких подмножеств множества , обладающих свойством .
Доказательство этих теорем приводится в [37].
Таким образом, свойство линейности исходного н.о.п. переносится на индуцированное им обобщенное н.о.п.
Пример 9.11. Универсальное множество непрерывно. Пусть , а нечеткое множество в задано в виде . Нечеткое отношение имеет функцию принадлежности , при (функции и приведены на рис. 9.8.а, 9.8.б). Требуется найти образ в , генерируемый нечетким отношением .
Решение. Согласно (9.5.7) .
Определим минимум по для и .
Эти две кривые пересекаются в двух точках:
а) условие дает точку
На рис. 9.8.в. сплошной линией выделена кривая , максимум которой достигается при . Таким образом, .
Пример 9.12. Пусть нечеткое множество на задано функцией принадлежности , где и задано на четкое отношение порядка , где . Найти образ множества в , генерируемый отношением .
Решение.
Рассмотрим два интервала:
а) для :
при
б) для
, т.е. достигает максимума при
Итак,
Пусть – четкое отношение нестрогого порядка , т.е.
Найти функцию принадлежности обобщенного нечеткого отношения предпочтения , генерируемого отношением на , .
В соответствии с соотношением (9.5.10)
Рассмотрим кривые (рис. 9.9) и найдем точки их пересечения.
Имеем . Найдем левую точку пересечения :
или
Точка пересечения кривых определяется при .
а) Итак, на интервале
;
б) на интервале , где – вторая(правая) точка пересечения кривых и ;
в) на интервале .
Рассмотрим в общем виде задачу нечеткого математического программирования и сведем ее к задаче принятия решений при нечетком отношении предпочтения [20; 37]
Формально задача НМП формулируется следующим образом.
Пусть – универсальное множество альтернатив и
Задано нечеткое подмножество допустимых альтернатив. Пусть - универсальное множество оценок результатов альтернатив из множества и заданное на множестве н.о.п. Выборы альтернатив оцениваются нечеткими значениями заданной нечеткой функции цели
Задача заключается в рациональном выборе альтернатив на основе информации, заданной в описанной выше форме. При анализе этой задачи будем считать для простоты, что множество допустимых альтернатив описано четко.
Построим на множестве н.о.п. индуцированное исходным н.о.п. и нечеткой функцией цели , а затем выделим в нем подмножество недоминируемых альтернатив.
Любой альтернативе заданная функция ставит в соответствие нечеткую оценку этой альтернативы в виде нечеткого подмножества оценок на .
Пусть – н.о.п., индуцированное исходным отношением н.о.п. на классе Y всех нечетких подмножеств множества .
Пользуясь этим отношением, можно сравнивать по отношению предпочтения нечеткие оценки альтернатив, а следовательно, и сами эти альтернативы. Иными словами, степенью предпочтения альтернативы альтернативе будем считать степень предпочтения нечеткой оценки нечеткой оценке , т.е. положим
, (9.5.15)
где , — соответствующие и нечеткие подмножества оценок.
Таким образом, используя определение (см. раздел 9.4.) получаем н.о.п. на множестве альтернатив следующего вида
. (9.5.16)
|
Действительно, в этом случае
Тогда равенство (9.5.15) будет иметь вид
Можно убедиться в том, что если функция нормальная (), то н.о.п. рефлексивно, т.е., .
Выделим в множестве с н.о.п. нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив. Согласно определению оно задается так
. (9.5.17)
Окуда с учетом (9.5.15) получаем
(9.5.18)
Рассмотрим более простую, но практически важную задачу, когда множество оценок – числовая ось. Тогда выражение (9.5.15) принимает вид
, (9.5.19)
а решением соответствующей задачи НМП является нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив вида
(9.5.20)
Величина есть степень недоминируемости альтернативы . Если , то в множестве нет ни одной альтернативы, которая бы доминировала альтернативу со степенью , большей, чем . Покажем, что для нахождения альтернативы, не доминируемой со степенью, не меньшей, чем , достаточно решить следующую задачу НМП
(9.5.21)
при ограничениях .
Теорема 9.4. Пусть нечеткая целевая функция такова, что при любом и пусть - н.о.п. на , индуцированное отношением нестрогого порядка на числовой оси и функцией . Если – решение задачи (9.5.21), то , где – нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив во множестве .
Доказательство. Пусть пара – решение задачи (9.5.21). Тогда, как следует из (9.5.20), для доказательства теоремы 9.4. достаточно показать, что
Допустим противное, т.е., найдутся и такие, для которых
(9.5.22)
Выберем так, что (существование такого следует из предположений о функции в условиях теоремы 9.4).
Поскольку пара – решение задачи (9.5.21), то и, кроме того . Отсюда , но тогда неравенство (9.5.22) невозможно, так как левое слагаемое в левой части (9.5.22) не может превышать 1.
Из доказанной теоремы вытекает, что любые условия, достаточные для решения задачи (9.5.21), достаточны и для существования соответствующих недоминируемых альтернатив в множестве. В частности, справедлива следующая теорема [37].
Теорема 9.5. Если множества и компактны, причем - подмножество числовой оси, функция полунепрерывна на произведении при любом и н.о.п. на , индуцированное отношением порядка на и функцией , то во множестве имеется, по крайней мере, одна альтернатива , для которой .