В задачах организационного управления часто встречаются ситуации, в которых исходные условия задачи нечетко определены. Такие ситуации отражают недостаточную информированность лица,  принимающего решение (ЛПР).

Используемая информация может быть субъективной, а ее представление в языке людей, как правило, содержит большое число неопределенностей типа “много”, ”мало”, “приблизительно”, которые не имеют аналогов в языке математики. Поэтому описание этой информации средствами традиционной математики сильно огрубляет математическую модель. Таким образом, для дальнейшего применения математических методов для анализа и исследования все более усложняющихся систем потребовалось создание нового математического аппарата, позволяющего формально описывать нечеткие понятия, которыми оперирует человек, описывая свои желания, цели и представления о системе.

Таким аппаратом является постоянная теория нечетких множеств, созданная Л.Заде, первая фундаментальная работа которого была опубликована еще в 1965 г.[65]. На протяжении последних тридцати лет это новое направление интенсивно развивалось, появились сотни работ, посвященных теоретическим и прикладным аспектам теории нечетких множеств. Ярким свидетельством постоянно растущего интереса к этому направлению в теории принятия решений является, в частности, организация в 1978 г. специального международного журнала “Fuzzy Sets and Systems“, посвященного проблемам теории нечетких множеств. Одним из наиболее актуальных направлений новой теории стала проблема принятия решений при нечетких условиях и критериях, которая привела к появлению нового направления в математическом программировании – нечеткого математического программирования (НМП). В этой главе изложены основные идеи и методы нечеткого математического программирования.

9.1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

Основные понятия и определения.

Определение 9.1. Нечетким множеством , заданном на универсальном множестве , называется совокупность пар вида , где - функция , которая называется функцией принадлежности множества  . Значение  для конкретного  называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству  (рис. 9.1.а)

Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества  является его характеристическая функция  (рис. 9.1.б)

Text Box: 
Рис. 9.1

Определение 9.2. Нечеткое множество  ,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть  .

Определение 9.3. Универсальное множество  описывается функцией принадлежности вида  .

Определение 9.4. Носителем нечеткого множества  с функцией принадлежности называется множество вида

supp .

Нечеткое множество  называется нормальным, если выполняется

условие , в противном случае оно называется субнормальным.

Пусть и — нечеткие множества на ,  и  — их функции принадлежности соответственно.

Text Box: 
Рис. 9.2
Говорят, что  включает в себя (то есть ), если для любого  выполняется неравенство  (рис. 9.2).

Если ,то supp supp

Множества  эквивалентны ( ), если  , .

Пример 9.1. Рассмотрим нечеткие множества

 

Тогда  и функции принадлежности этих
множеств должны удовлетворять условию

,.

Text Box: 
Рис. 9.3
Text Box: 
Рис. 9.4

Операции над нечеткими множествами.

Определение 9.5. Объединением нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида (рис.9.3) 

 .                         (9.1.1)

Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности

Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида (рис.9.4)

 = ; .              (9.1.2)

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности , где - параметр семейства, то пересечение является нечетким множеством с функцией принадлежности вида

 , .

Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств  и  в  определяется как нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

 , .                  (9.1.3)

Определение 9.10. Разностью нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

          (9.1.4)

Определение 9.11. Декартовым произведением  нечетких множеств  в  называется нечеткое множество в декартовом произведения  с функцией принадлежности вида

 .          (9.1.5)

Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств  на  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида

 , где .             (9.1.6)

Определение 9.13.Операции концентрирования  и растяжения  нечеткого множества  определяются следующим образом:

 .

Или в общем случае

 ,

где , -целое .

Множества уровня и декомпозиции нечетких множеств.

Определение 9.14. Множеством уровня  нечеткого множества  в  называется множество, составленное из элементов , степень принадлежности которых к множеству  не меньше , то есть, если -множество уровня нечеткого множества , то

 .                               (9.1.7)

Справедливы следующие соотношения [18; 48]

 ; .          (9.1.8)

Если для операции объединения и пересечения используются соответствующие сильные определения, то

 ; .        (9.1.9)

В некоторых случаях целесообразно пользоваться раскложением нечеткого множества  по  его  множествам  уровня,  а именно представлением нечеткого множества в виде

 ,                                     (9.1.10)

где , а объединение нечетких множеств берется согласно к определению (9.1.10) по всем  от 0 до 1.

Пример 9.2. Пусть ,а функция принадлежности нечеткого множества  в  задана табл. 9.1.

Таблица 9.1

X

0

1

2

3

4

5

6

0

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1

Тогда для множестве можно записать следующие множества уровня:

 ; ; ; ; ; .

А нечеткое множество  представить в виде