В задачах организационного управления часто встречаются ситуации, в которых исходные условия задачи нечетко определены. Такие ситуации отражают недостаточную информированность лица, принимающего решение (ЛПР).

Используемая информация может быть субъективной, а ее представление в языке людей, как правило, содержит большое число неопределенностей типа “много”, ”мало”, “приблизительно”, которые не имеют аналогов в языке математики. Поэтому описание этой информации средствами традиционной математики сильно огрубляет математическую модель. Таким образом, для дальнейшего применения математических методов для анализа и исследования все более усложняющихся систем потребовалось создание нового математического аппарата, позволяющего формально описывать нечеткие понятия, которыми оперирует человек, описывая свои желания, цели и представления о системе.

Таким аппаратом является постоянная теория нечетких множеств, созданная Л.Заде, первая фундаментальная работа которого была опубликована еще в 1965 г.[65]. На протяжении последних тридцати лет это новое направление интенсивно развивалось, появились сотни работ, посвященных теоретическим и прикладным аспектам теории нечетких множеств. Ярким свидетельством постоянно растущего интереса к этому направлению в теории принятия решений является, в частности, организация в 1978 г. специального международного журнала “Fuzzy Sets and Systems“, посвященного проблемам теории нечетких множеств. Одним из наиболее актуальных направлений новой теории стала проблема принятия решений при нечетких условиях и критериях, которая привела к появлению нового направления в математическом программировании – нечеткого математического программирования (НМП). В этой главе изложены основные идеи и методы нечеткого математического программирования.

9.1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

Основные понятия и определения.

Определение 9.1. Нечетким множеством , заданном на универсальном множестве , называется совокупность пар вида , где ,а - функция , которая называется функцией принадлежности множества . Значение для конкретного называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству (рис. 9.1.а)

Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция (рис. 9.1.б)

Определение 9.2. Нечеткое множество ,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть .

Определение 9.3. Универсальное множество описывается функцией принадлежности вида .

Определение 9.4. Носителем нечеткого множества с функцией принадлежности называется множество вида

supp .

Нечеткое множество называется нормальным, если выполняется

условие , в противном случае оно называется субнормальным.

Пусть и — нечеткие множества на , и — их функции принадлежности соответственно.

Text Box:
Рис. 9.2 Говорят, что включает в себя (то есть ), если для любого выполняется неравенство (рис. 9.2).

Если ,то supp supp

Множества эквивалентны ( ), если , .

Пример 9.1. Рассмотрим нечеткие множества

Тогда и функции принадлежности этих
множеств должны удовлетворять условию

Операции над нечеткими множествами.

Определение 9.5. Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.3)

. (9.1.1)

Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.4)

= ; . (9.1.2)

Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности , где - параметр семейства, то пересечение является нечетким множеством с функцией принадлежности вида

, .

Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, . (9.1.3)

Определение 9.10. Разностью нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

(9.1.4)

Определение 9.11. Декартовым произведением нечетких множеств в называется нечеткое множество в декартовом произведения с функцией принадлежности вида

. (9.1.5)

Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств на называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

, где . (9.1.6)

Определение 9.13.Операции концентрирования и растяжения нечеткого множества определяются следующим образом:

Или в общем случае

где , -целое .

Множества уровня и декомпозиции нечетких множеств.

Определение 9.14. Множеством уровня нечеткого множества в называется множество, составленное из элементов , степень принадлежности которых к множеству не меньше , то есть, если -множество уровня нечеткого множества , то

. (9.1.7)

Справедливы следующие соотношения [18; 48]

; . (9.1.8)

Если для операции объединения и пересечения используются соответствующие сильные определения, то

; . (9.1.9)

В некоторых случаях целесообразно пользоваться раскложением нечеткого множества по его множествам уровня, а именно представлением нечеткого множества в виде