В задачах организационного управления часто встречаются ситуации, в которых исходные условия задачи нечетко определены. Такие ситуации отражают недостаточную информированность лица, принимающего решение (ЛПР).
Используемая информация может быть субъективной, а ее представление в языке людей, как правило, содержит большое число неопределенностей типа “много”, ”мало”, “приблизительно”, которые не имеют аналогов в языке математики. Поэтому описание этой информации средствами традиционной математики сильно огрубляет математическую модель. Таким образом, для дальнейшего применения математических методов для анализа и исследования все более усложняющихся систем потребовалось создание нового математического аппарата, позволяющего формально описывать нечеткие понятия, которыми оперирует человек, описывая свои желания, цели и представления о системе.
Таким аппаратом является постоянная теория нечетких множеств, созданная Л.Заде, первая фундаментальная работа которого была опубликована еще в 1965 г.[65]. На протяжении последних тридцати лет это новое направление интенсивно развивалось, появились сотни работ, посвященных теоретическим и прикладным аспектам теории нечетких множеств. Ярким свидетельством постоянно растущего интереса к этому направлению в теории принятия решений является, в частности, организация в 1978 г. специального международного журнала “Fuzzy Sets and Systems“, посвященного проблемам теории нечетких множеств. Одним из наиболее актуальных направлений новой теории стала проблема принятия решений при нечетких условиях и критериях, которая привела к появлению нового направления в математическом программировании – нечеткого математического программирования (НМП). В этой главе изложены основные идеи и методы нечеткого математического программирования.
Определение 9.1. Нечетким множеством , заданном на универсальном множестве , называется совокупность пар вида , где ,а - функция , которая называется функцией принадлежности множества . Значение для конкретного называется степенью принадлежности этого элемента к нечеткому множеству (рис. 9.1.а)
Обычные множества составляют подкласс нечетких множеств . Действительно, функцией принадлежности обычного множества является его характеристическая функция (рис. 9.1.б)
Определение 9.2. Нечеткое множество ,определенное на , называется пустым, если его функция принадлежности равна 0 на всем множестве , то есть .
Определение 9.3. Универсальное множество описывается функцией принадлежности вида .
Определение 9.4. Носителем нечеткого множества с функцией принадлежности называется множество вида
supp .
Нечеткое множество называется нормальным, если выполняется
условие , в противном случае оно называется субнормальным.
Пусть и — нечеткие множества на , и — их функции принадлежности соответственно.
Говорят, что включает в себя (то есть ), если для любого выполняется неравенство (рис. 9.2).
Если ,то supp supp
Множества эквивалентны ( ), если , .
Пример 9.1. Рассмотрим нечеткие множества
Тогда и функции принадлежности этих
множеств должны удовлетворять условию
,.
Определение 9.5. Объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.3)
. (9.1.1)
Определение 9.6. Сильным объединением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности
Определение 9.7. Пересечением нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида (рис.9.4)
= ; . (9.1.2)
Если - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности , где - параметр семейства, то пересечение является нечетким множеством с функцией принадлежности вида
, .
Определение 9.8. Сильное пересечение нечетких множеств и в определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности вида
, . (9.1.3)
Определение 9.10. Разностью нечетких множеств и в называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
(9.1.4)
Определение 9.11. Декартовым произведением нечетких множеств в называется нечеткое множество в декартовом произведения с функцией принадлежности вида
. (9.1.5)
Определение 9.12. Выпуклой комбинацией нечетких множеств на называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида
, где . (9.1.6)
Определение 9.13.Операции концентрирования и растяжения нечеткого множества определяются следующим образом:
.
Или в общем случае
,
где , -целое .
Определение 9.14. Множеством уровня нечеткого множества в называется множество, составленное из элементов , степень принадлежности которых к множеству не меньше , то есть, если -множество уровня нечеткого множества , то
. (9.1.7)
Справедливы следующие соотношения [18; 48]
; . (9.1.8)
Если для операции объединения и пересечения используются соответствующие сильные определения, то
; . (9.1.9)
В некоторых случаях целесообразно пользоваться раскложением нечеткого множества по его множествам уровня, а именно представлением нечеткого множества в виде
, (9.1.10)
где , а объединение нечетких множеств берется согласно к определению (9.1.10) по всем от 0 до 1.
Пример 9.2. Пусть ,а функция принадлежности нечеткого множества в задана табл. 9.1.
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
0 |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
1 |
Тогда для множестве можно записать следующие множества уровня:
; ; ; ; ; .
А нечеткое множество представить в виде