9.8. многокритериальное НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
В разд. 9.7. рассмотрена проблема многокритериальной оптимизации в ЛП и описан подход, позволяющий решить ее с использованием аппарата нечетких множеств.
Рассмотрим более общий случай задач многокритериального нелинейного программирования (МКНП) с нечеткими параметрами. Предлагаемый подход к их решению использует понятие Парето- оптимальности
- уровня.
Парето- оптимальность
-уровня.
В общем случае задачу МКНП можно записать в виде следующей задачи векторной оптимизации:
минимизировать
(9.8.1)
при условиях
(9.8.2)
где
-
-мерный вектор переменных решения;
-
различных целевых функций;
- множество допустимых решений (МДР).
Фундаментальным понятием для задач многокритериальной оптимизации является понятие Парето- оптимального решения.
Напомним, что вектор
называется Парето- оптимальным решением задачи МКНП тогда и только тогда, когда не существует другого вектора
такого, что
для всех
, причем хотя бы для одного
это ограничение выполняется строго.
Во многих случаях на практике в значениях параметров целевых функций и ограничений имеются неоднозначности, которые отражают неполноту знаний экспертов о реальной среде. Тогда целесообразно рассмотреть МКНП с нечеткими параметрами в описании целевых функций и ограничений:
минимизировать
(9.8.3)
при условиях
,
где
- вектор нечетких параметров, включенных в целевую функцию
и ограничения
соответственно.
Эти нечеткие параметры предполагаются нечеткими числами, которые введены Дюбуа и Прэйдом.
Определение 9.26. Нечеткое число
- это выпуклое непрерывное нечеткое подмножество числовой оси, функция принадлежности
которого определяется следующим образом [20]:
1) 
2)
для всех 
3)
- строго возрастающая функция на интервале 
4)
для всех 
5)
- строго убывающая функция на интервале
6)
для всех 
где
- действительные числа такие, что 
Возможный вид функции принадлежности для нечеткого числа приведен на рис. 9.15.
Предположим далее, что
в нечетком МКНП являются нечеткими числами с функциями принадлежности
соответственно. Для простоты обозначений определим следующие векторы и матрицы

Тогда можно ввести множество
уровня или
- сечение нечетких чисел
и
.
Определение 9.27. Множеством уровня
нечетких чисел
и
называется множество
, для которого степень принадлежности всех элементов превышает величину
, т.е.
. (9.8.4)
Множества уровня
обладают следующим свойством:
тогда и только тогда, когда
.
Итак, для некоторого заданного значения
-задача нечеткого МКНП может трактоваться как следующая
- МКНП задача вида:
минимизировать
(9.8.5)
при условии
. (9.8.6)
Следует подчеркнуть, что в
- МКНП задаче параметры
рассматриваются как переменные, а не как константы. Используя множества уровня
нечетких чисел, введем понятия Парето- оптимальных решений для нечетких
- МКНП задач [62].
Определение 9.28. Вектор
называют
-Парето- оптимальным решением задачи (9.8.5), (9.8.6) тогда и только тогда, когда не существует другого
такого, что
(9.8.7)
и строгое неравенство выполняется, по крайней мере, для одного
, где соответствующие величины параметров
называются оптимальными параметрами уровня
.
Из свойств множества уровня
вытекает следующее утверждение.
Пусть
- Парето- оптимальные решения уровней
и
соответственно,
,
- соответствующие оптимальные параметры уровня
и
задачи МКНП. Если
, то существуют
и
такие, что
для любого
и
. Как следует из данного определения, обычно
- Парето- оптимальные решения состоят из бесконечного множества точек и ЛПР должен выбрать свой компромисс или удовлетворительное решение среди
- Парето- оптимальных решений, основанных на его субъективных суждениях.
Чтобы отыскать 'кандидата' на удовлетворительное решение (которое является также и Парето- оптимальным) ЛПР просят определить степень
для множества
- уровня, а также эталонные уровни достижения значений ц.ф., которые называются 'эталонными' уровнями.
Для указанных ЛПР степени
и эталонных уровней
соответствующее
- Парето- оптимальное решение, которое отвечает требованиям ЛПР (или лучше их при условии, что эталонные уровни достижимы), получается путем решения следующей минимаксной задачи (в предположении, что разности
имеют одинаковую важность для ЛПР):
найти
(9.8.7)
или эквивалентно:
минимизировать
(9.8.8)
при условиях
(9.8.9)
. (9.8.10)
Следует подчеркнуть, что минимаксная задача используется как средство генерации
- Парето- оптимальных решений и, если ЛПР не удовлетворен текущим
- Парето- оптимальным решением, то возможно улучшить это решение путем корректировки его эталонных уровней.
Взаимосвязи между оптимальными решениями минимаксной задачи и понятием
- Парето- оптимальных решений задачи МКНП описываются следующими теоремами [62;63].
Теорема 9.6. Если
-единственное оптимальное решение минимаксной задачи для некоторого
, то тогда
-
- Парето- оптимальное решение для
- МКНП задачи.
Доказательство. Предположим, что
не является
- Парето- оптимальным решением задачи МКНП. Тогда существует
(причем
) такой, что
.
Отсюда следует,
, что противоречит предположению, что
- единственное оптимальное решение минимаксной задачи. Отсюда
-
- Парето- оптимальное решение
- МКНП задачи.
Теорема 9.7. Если
-
- Парето- оптимальное решение и
- оптимальные параметры
- уровня в
- МКНП задаче, то существует вектор
такой, что
- оптимальное решение минимаксной задачи.
Доказательство. Предположим, что
-не оптимальное решение минимаксной задачи для любого
, удовлетворяющего условию
.
Тогда существуют
и
такие, что
.
Отсюда следует, 
Если любая разность
положительна или равна 0, то это неравенство не будет выполняться. Отсюда должно выполняться
, что противоречит допущению, что
-
- Парето- оптимальное решение и
- оптимальные параметры
- уровня. Итак, теорема доказана.
Если же оптимальное решение минимаксной задачи
не однозначно, то можно проверить
- Парето- оптимальность для
, решив следующую задачу:
найти
(9.8.11)
при условиях
(9.8.12)
Пусть
- оптимальное решение задачи (9.8.11), (9.8.12). Если все
, то
-
- Парето- оптимальное решение. Если же хотя бы одно
, то можно легко показать, что
является
- Парето- оптимальным.
Уровни компромисса.
Определив
- Парето- оптимальное решение для заданных величин
и эталонных уровней путем решения соответствующей минимаксной задачи, ЛПР может быть либо удовлетворен текущим
- Парето- оптимальным решением, либо подкорректировать его. Чтобы помочь ЛПР выразить степень его предпочтения, используется информация о компромиссе между текущей целевой функцией
и любой другой
, а также между степенью
и значениями
.
Такая информация о компромиссах может быть легко получена,так как она тесно связана со строго положительными множителями Лагранжа минимаксной задачи.
Чтобы получить эту информацию о компромиссах (замещении), определим сначала функцию Лагранжа для минимаксной задачи (9.8.7)-(9.8.10) в виде:


В дальнейшем для удобства компоненты решения в минимаксной задаче (9.8.7)-(9.8.10) будем обозначать
. Предположим, что минимаксная задача имеет одно единственное локально - оптимальное решение, которое удовлетворяет следующим допущениям [63].
Допущение 1.
- регулярная точка ограничений минимаксной задачи.
Допущение 2. В точке
удовлетворяются достаточные условия второго порядка.
Допущение 3. В точке
нет вырожденных ограничений.
Тогда справедлива следующая теорема существования [62].
Теорема 9.8. Пусть
=
- единственное оптимальное решение минимаксной задачи (9.8.8)-(9.8.10), удовлетворяющее допущениям 1-3. Пусть
обозначает множители Лагранжа, соответствующие ограничениям (9.8.9), (9.8.10). Тогда существуют неперервно дифференцируемые вектор - функции
и
, определенные в некоторой окрестности
такие, что
, где
- единственное локально оптимальное решение минимаксной задачи (9.8.8)-(9.8.10) для любого
, удовлетворяющего допущениям 1-3 и
- вектор множителей Лагранжа, удовлетворяющий ограничениям (9.8.9), (9.8.10).
В теореме 9.8 величина
(9.8.13)
может рассматриваться как оптимальное значение целевой функции в минимаксной задаче (9.8.8)-(9.8.10) для любого
. Поэтому следующая теорема выполняется при тех же самых ограничениях, что и теорема 9.8.
Теорема 9.9. Если все допущения теоремы 9.8 удовлетворяются, то выполняется следующее соотношение в некоторой окрестности 
. (9.8.14)
Если все ограничения (9.8.9) минимаксной задачи активные, а именно, если
для всех
, то справедлива также и следующая теорема [62;63].
Теорема 9.10. Пусть все допущения теоремы 9.8 выполняются. Предположим также, что все ограничения (9.8.9) минимаксной задачи активны. Тогда выполняется соотношение
(9.8.15)
Рассматривая уровень замещения между
и
для всех
, можно доказать справедливость следующей теоремы 63.
Теорема 9.11. Пусть все допущения теоремы 9.8 выполняются. Предположим, также, что ограничения (9.8.9) активны. Тогда справедливо следующее соотношение
. (9.8.16)
Для того, чтобы можно было получить информацию о замещении выражений (9.8.15), (9.8.16), все ограничения (9.8.9) минимаксной задачи должны быть активными. Поэтому, если есть неактивные ограничения, то необходимо заменить
для неактивного ограничения на
и решить соответствующую минимаксную проблему для нахождения множителей Лагранжа.
Интерактивный алгоритм поиска Парето- оптимальных решений задачи МКНП.
Опишем интерактивный алгоритм для поиска решений из множества
- Парето- оптимальных решений, удовлетворяющих ЛПР.
Шаг 1. Вычислить индивидуальный минимум и максимум для каждой ц.ф.
при заданных ограничениях для
и
.
Шаг 2. Попросить ЛПР выбрать начальное значение
(
)и начальные эталонные уровни
.
Шаг 3. Для выбранных значений
,{
} решить минимаксную задачу и выполнить тест на проверку
- Парето- оптимальности.
Шаг 4. Сообщить ЛПР соответствующее
- Парето- оптимальное решение и уровни замещения (обмена) между ц.ф. и степенью
. Если ЛПР удовлетворен текущими значениями ц.ф. и
, то конец. Иначе - ЛПР может скорректировать эталонные уровни и (или) значение
, рассмотрев текущие значения ц.ф. и
вместе с уровнями (величинами) замещения между ц.ф. и
, и возвратиться к шагу 3.
Следует подчеркнуть для ЛПР, что:
1) любое улучшение одной ц.ф. может быть достигнуто только за счет ухудшения, по крайней мере, одной из других ц.ф. для некоторого фиксированного 
2) увеличение уровня
приводит к ухудшению (уменьшению) значений ц.ф. при некоторых фиксированных значениях эталонных уровней
.
Экспериментальные исследования алгоритма
решения задач МКНП.
Для экспериментального исследования интерактивного алгоритма решения задачи МКНП была выбрана следующая задача :
(9.8.17)
(9.8.18)
при ограничении
(9.8.19)
где
- нечеткие числа с функциями принадлежности (ФП) треугольного вида с параметрами
и
, значения которых приводятся в табл. 9.19
Таблица 9.19.
Для нахождения решения минимаксной задачи вида (9.8.8)- (9.8.10) используется метод барьерных поверхностей (МБП), для применения которого строится барьерная функция вида:
, (9.8.20)
где
- номер текущей итерации,
,
Условия остановки алгоритма такие:
(9.8.21)
где
- оптимальное решение после
- ой итерации. При оптимизации барьерной функции используется градиентный метод с переменным шагом. Эксперименты проводились при различных уровнях
. Как эталонные уровни использовались значения
та
, заданные ЛПР. В табл.9.20 приводятся результаты экспериментальных исследований в зависимости от вариаций
и значений эталонных уровней
,
. Здесь
и
- достигнутые значения критериев
,
, -
число итераций оптимизации.
Таблица 9.20.
В следующих экспериментах было исследовано влияние выбора нечетких параметров
из интервала
на область допустимых решений (ОДР) и достигнутые значения критериев при
. Конечно, что при
получим максимальную ОДР, а при
- минимальную.
Соответствующие результаты приведены в табл. 9.21.
Таблица 9.21.
Проанализировав приведенные экспериментальные результаты, приходим к следующим выводам.
Увеличение уровня
приводит к ухудшению достигнутых значений критериев
та
, так как сокращается интервал
, на котором отыскиваем
.
Увеличение ОДР приводит к улучшению значений критериев, а уменьшение наоборот - к обратному эффекту. Уменьшая заданные значения эталонных уровней
и
, можно достичь улучшения значения соответствующего критерия вследствие оптимизации.