9.2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
Прежде чем ввести понятие нечеткого отношения , рассмотрим обычные отношения и их свойства.
Отношением
на множестве
называется некоторое подмножество декартова произведения
.
В соответствии с этим определением задать отношение
на множестве
означает указать все пары
, которые связаны отношением
. Для обозначения того, что элементы
связаны отношением, будем пользоваться следующими двумя эквивалентными формами записи:
или
.
Если множество
, на котором задано отношение
, конечно, то отношение задается в двух формах:
1) в матричной
,

2) в графовой (рис. 9.5) .

рис. 9.5
Пусть на множестве
заданы два отношения
и
, множество
определяется матрицей 
,
,
,а
-матрицей
.
Тогда рассмотрим отношение
, которое является объединением двух отношений:
.
Если
является пересечением отношений
и
(
), то
.
Определение 9.15. Отношение
включает в себя отношение
, если для соответствующих множеств
и
выполняется условие
.
Определение 9.16. Если между
и
существует отношение
,то обратным к нему называется такое отношение
,что
существует тогда и только тогда, когда
. Если при этом
,
- матрицы этих отношений, то элементы этих матриц связаны соотношением
,
.
Определение 9.17. Произведение (композиция) отношений
на декартовом произведении
определяется следующим образом:
тогда и только тогда, когда существует такой
,для которого выполнены одновременно отношения
и
. При этом элементы матриц отношений связаны следующим образом
.
Укажем основные свойства отношений:
1. Отношение
рефлексивно, если
или
для любого
. Пример рефлексивного отношения на множестве действительных чисел - отношение
('больше-равно').
2. Отношение
на
антирефлексивно, если из того, что
следует
. В матрице рефлексивного отношения все диагональные элементы равны 1, а антирефлексивного - 0.
3. Отношение
симметрично, если из того, что
следует
. Матрица симметричного отношения - симметричная. Отношение называется антисимметричным, если из того, что
и
, следует
.
4. Для транзитивного отношения выполняется следующее условие:
Нечеткие отношения.
Введем понятия нечеткого отношения и рассмотрим его свойства [37].
Определение 9.18. Нечетким отношением
на множестве
называется нечеткое подмножество декартова произведения
, которое характеризуется такой функцией принадлежности
, что
. Причем
принимаается как субъективная мера выполнения отношения
.
Пример 9.3. Пусть заданы:
а) четкое отношение
, где
;
б) нечеткое отношение
;

рис 9.6
На рис. 9.6.а приведены пары
из интервала
, связанные отношением
,то есть такие, что
. Они образуют множество точек заштрихованной области, которые отделены четкой границей - диагональю от других точек.
Строя нечеткое отношение
на единичном квадрате, убеждаемся, что существуют пары
, которые можно определенно отнести ко множеству
(например, точка
), а также те, которые определенно не принадлежат
(например,
)
Кроме того имеется несчетное множество пар
, о принадлежности которых к множеству
можно судить лишь приблизительно с определенной субъективностью (например, точка
). Поэтому нечеткое множество
характеризуется отсутствием четкой границы от дополнительного множества
, и степень принадлежности
пары
следует характеризовать плотностью штриховки (рис. 9.6. б). Можно рассмотреть некоторые сечения отношения
при фиксированном
.
Соответствующее семейство функций
приведено на рис. 9.6.в. Если отношение
на
конечно, то его функция принадлежности
задается в виде квадратной матрицы
с элементами
. Если
, то это означает, что степень выполнения отношения
равна
.
Носителем нечеткого отношения
на множестве
называется подмножество декартова произведения
, определяемое так:
supp
.
Операции над нечеткими отношениями.
Пусть на множестве
заданы два нечетких отношения
и
с функциями принадлежности
. Тогда множество
представляет собой объединение нечетких отношений
и
на множестве
,если его функция принадлежности определяется выражением
.
Аналогично множество
является пересечением нечетких множеств
и
, если
.
Можно ввести также операции сильного объединения и сильного пересечения, аналогичные операциям над нечеткими множествами (см. определение 9.6, 9.8).
Нечеткое отношение
включает в себя нечеткое отношение
, если для них выполняется соотношение
.
Если
-нечеткое отношение с функцией принадлежности
, то отношения
, характеризующееся функцией принадлежности
называется дополнением
на множестве 
Обратное к
отношение на
определяется следующим образом:
, при этом функции принадлежности связаны между собою равенством
.
Свойства нечетких отношений.
1. Рефлексивность. Нечеткое отношение называется рефлексивным на
, если выполняется условие
(примеры рефлексивных отношений: примерно равно, близко)
2. Антирефлексивность. Нечеткое отношение
на
антирефлексивно, если для всех
(Например
- много больше)
3. Симметричность. Нечеткое отношение
на
симметрично, если для всех
. Отношение
антисимметрично, если из того, что
следует
.
Важное значение в теории нечетких множеств имеет композиция (или произведение) нечетких отношений. В отличие от обычных (четких) отношений композицию (произведение) нечетких отношений можно определить разными способами.
Определение 9.19. Максиминная композиция (произведение) нечетких отношений
и
на
характеризуется функцией принадлежности вида
. (9.2.1)
Определение 9.20. Минимаксная композиция нечетких отношений
и
на
(обозначается
) определяется функцией принадлежности вида
. (9.2.2)
Определение 9.21. Максимультиплекативная композиция нечетких отношений
и
на
есть нечеткое отношение
с функцией принадлежности вида
. (9.2.3)
Пример. Пусть заданы два нечетких отношения
и
на множестве
, состоящем из двух элементов
, где матрицы нечетких отношений таковы:


Тогда композиция (произведение) нечетких отношений определяется так :
а) максиминная
;
б) минимаксная
;
в) максимультиплекативная
.
Нечеткое отношение
на множестве
называется транзитивным, если
. Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения композиции нечетких отношений.
Рассмотрим минимаксную транзитивность, то есть
. Если обозначить через
максиминную, минимаксную и максимультиплекативную композиции транзитивного отношения
самого на себя (то есть
), то можно убедиться в том, что
. (9.2.4)
Действительно, при любых
выполняются неравенства
,
откуда и следует справедливость (9.2.4).