Eng | Rus | Ukr
Исследование операций
04.10.2008

<< prev | ^up^ | next >>

7.3. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

Общая характеристика

Задачи управления запасами составляют один из наиболее распространенных классов задач исследования операций, решение которых имеет важное хозяйственное значение. Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, а также нормативного уровня запасов дает возможность высвободить значительные оборотные средства, замороженные в виде запасов, что (в конечном счете) повышает эффективность используемых ресурсов. Существует большое количество разных моделей задач управления запасами.

Приведем основные характеристики моделей этих задач (18).

Элементами задачи (системы) управления запасами являются:

система снабжения;

спрос на предметы снабжения;

возможность пополнения запасов;

функции затрат;

ограничения;

принятая стратегия управления запасами.

Рассмотрим подробнее каждый из этих элементов.

Системы снабжения бывают: децентрализованные (однокаскадные) и централизованные (многокаскадные).

Спрос на предметы снабжения делится на стационарный или нестационарный, детерминированный или случайный.

Различают такие способы пополнения запасов: мгновенная поставка; поставка с задержкой на фиксированный временной интервал; поставка с задержкой на случайный интервал.

Функция затрат составляет в совокупности критерий эффективности избранной стратегии управления и учитывает общем случае) расходы на хранение, стоимость поставок, затраты на заказ каждой новой поставки, штрафы за дефицит.

Приведем возможные варианты этих

составных.

Расходы на хранение бывают: пропорциональные среднему уровню положительного запаса за период времени его существования; пропорциональные остатку запаса к концу периода; нелинейная функция среднего уровня запасов и интервала существования положительного запаса.

Стоимость поставки бывает: пропорциональной объему поставки, постоянной, пропорциональной числу типов поставляемых запасов.

Штрафы вследствие дефицита бывают такие: пропорциональные средней положительной недостаче (дефициту) за период; пропорциональные положительной недостаче к концу периода; постоянные, нелинейные функции от среднего уровня дефицита и продолжительности его существования.

Ограничение в задачи управления запасами вводятся на: максимальный объем запасов; максимальный вес; максимальную стоимость запасов; число поставок в заданный интервал времени; на стоимость поставки; на объем поставки; на вероятность дефицита.

Стратегия управления запасами должна минимизировать выбранную функцию затрат - критерий эффективности.

Рассмотрим некоторые типичные модели задач управления запасами.

Задача управления запасами при детерминированном

стационарном спросе и периодических поставках

Рассмотрим простейшую модель управления запасами с постоянной интенсивностью спроса  и поставок . Поставки осуществляются периодически с периодом . График изменения запасов показан на рис. 7.8. Обозначим через  предельный запас на складе, а Yg - максимальный дефицит.

Text Box: 
Рис. 7.8
Примем, что расходы на хранение (штрафы) пропорциональны среднему уровню запаса (дефицита) и интервалу времени его существования, а расходы на одну поставку фиксированы величиной .

Обозначим через  удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени,  - удельный штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени. При этих предположениях общая функция расходов за период будет иметь следующий вид:

 .                (7.3.1)

Как следует из рис. 7.8, текущий уровень запасов описывается так:

g

 

Максимальный дефицит Yg выражается через  (рис. 7.8)

g

 
 .

Находим  и , тогда

 .                             (7.3.2)

Обозначив

 ,                                 (7.3.3)

получим

 .                                (7.3.4)

Подставляя (7.3.4) в (7.3.2), получаем

g

 
                                        (7.3.5)

Найдем выражение для функции затрат с учетом (7.3.4), (7.3.5):

g

 

 

 .                        (7.3.6)

Средние затраты в единицу времени равны

                   (7.3.7)

 
Нужно найти такие значения , , для которых функция  минимальна. Для этого составляем и решаем систему уравнений

;                        (7.3.8)

.               (7.3.9)

Из (7.3.8) получим такое соотношение

 .                         (7.3.10)

 Наконец, из (7.3.9) получим

 .                        (7.3.11)

Подставляя в уравнение (7.3.11) выражение для  из (7.3.10), после несложных преобразований получим

 или                   (7.3.12)

Подставив в (7.3.12) выражение для a из (7.3.3) и поделив числитель и знаменатель на , получим окончательное выражение для оптимального предельного уровня запаса

 ;                          (7.3.13)

Подставив это выражение в (7.3.10), находим оптимальный период поставки

 .                            (7.3.14)

При таких значениях ,  достигается минимум средних расходов в единицу времени:

 .                       (7.3.15)

Рассмотрим теперь частные случаи этой общей задачи:

1) недостаток запасов недопустим (см. рис. 7.9). Тогда положив  и подставив  в (7.3.13) - (7.3.15), получим

,                            (7.3.16)

(7.3.17)

 
Text Box: 
Рис. 7.9
,

                                      ;                           (7.3.18)

 
2) мгновенные поставки (рис. 7.10). Положив в (7.3.13) - (7.3.15) , ,
получим

 
 
 
 , ,                         

            Рис.7.10                                                      Рис.7.11

                                           ;                        (7.3.19)

в)дефицит не допускается, поставки мгновенные (рис. 7.11). Подставив , , ,  в (7.3.13) - (7.3.15), получим

 
 ,  ,  .         (7.3.20)

 
Соотношение (7.3.20) называются формулами Уилсона, а величина  в (7.3.20) - экономическим размером партии [49].

Задача управления многономенклатурными запасами
при ограничении на емкость склада

Рассмотрим задачу создания многономенклатурных запасов при ограничении на суммарную емкость склада.

Пусть для і-го вида продукта (запаса) затраты на заказ фиксированы и составляют , удельные затраты на хранение единицы продукта , , спрос детерминированный с интенсивностью , (i = 1, 2, ., n). Предположим также, что поставки выполняются мгновенно ( ), и дефицит не допускается ( ), причем заказы по разным продуктам выполняются независимо. Тогда средние общие затраты по всем номенклатурам в единицу времени (при замене  ) определяются соотношением

 ,              (7.3.21)

где  - размер заказа по -и номенклатуре.

Если на запасы наложено ограничение, что средний суммарный уровень не должен превышать емкости складов, то необходимо минимизировать  при ограничении вида

 .                             (7.3.22)

Сначала определим оптимальный размер заказа по каждой номенклатуре по формуле Уилсона (7.3.20):

 , i = 1, 2, ., n.                 (7.3.23)

Если , то ограничение (7.3.22) выполняется и (7.3.23) определяет оптимальные размеры заказов . В противном случае, необходимо искать минимум (7.3.21) при ограничении

                                   (7.3.24)

Для этого применим метод множителей Лагранжа. Составим функцию

 .           (7.3.25)

Оптимальные значения переменных  определяются решением системы уравнений

                 (7.3.26)

Отсюда оптимальный размер заказа  определяется соотношением

 .                             (7.3.27)

Модель управления запасами при вероятностном спросе
и мгновенных поставках

Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.

I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть  - запас продукта к началу операции;  - запас после пополнения ( ), а ( ) - случайный спрос за время операции ;  - плотность распределения спроса;  - расходы на пополнение запасов.

Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса , то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса  (при , ). Наоборот, при неполном удовлетворении спроса ( ) система платит штраф за дефицит . Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно

 .   (7.3.28)

Найдем, при каких значениях  величина  будет минимальной. Для этого определим

 ,     (7.3.29)

где , ,  - обозначены частные производные по соответствующим функциям ( в (7.3.29) учтено, что , и положим ).

В общем случае функция  при фиксированных  может иметь несколько минимумов.

Обозначим через  абсциссу абсолютного минимума , а через , ,  точки следующих относительных минимумов, причем пусть < < < .< (рис. 7.12). Пусть далее  , , - точки,  удовлетворяющие таким условиям:<<<<.;=,

=и т.д.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:

Text Box: 
Рис. 7.12
при  заказывать ;

при  ничего не заказывать;

при  заказывать  и т.д.

Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции  [49]:

a) - не является относительным минимумом и

 ;

в) уравнение  имеет не более одного вещественного корня;

c) → ∞ при → ∞.

Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.

Text Box: 
Рис. 7.13
Обозначим через  решение уравнения  (рис. 7.13). Тогда оптимальная стратегия единственная и будет следующей:

при  заказывать (делать заказа на поставку) ;

при  ничего не заказывать.

ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна  при  и нулю при . Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член  (фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии

                                      .                      (7.3.30)

Text Box: 
Рис. 7.14
Если уравнение (7.3.30) имеет единственное решение , то оптимальная стратегия, как видно из рис. 7.14, имеет вид [49]:

при  заказывать ;

при  ничего не заказывать.

В литературе эта стратегия называется 'стратегией двух уровней' или (S,s)-стратегией [49].

Определение оптимальных уровней запасов  при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

Рассмотрим частный случай модели при вероятностном спросе, когда функции затрат ,  и  -линейные. В этом случае величину  можно определить аналитически.

Действительно,

 ,

тогда

 ,   (7.3.31)

Отсюда для нахождения оптимального уровня запасов получим уравнения

 ;                        (7.3.32)

где  - функция распределения случайного спроса.

В частности, для спроса,  распределенного по закону Рэлея,

 ,

имеем

 ,

отсюда

 .

Для показательного распределения спроса получим

 ,

откуда

 .

Рассмотрим случай дискретного распределения спроса :

     (7.3.33)

Соответственно

              (7.3.34)

Найдем приращение

. (7.3.35)

Text Box: 
Рис. 7.15
Докажем существование и единственность оптимального решения , для чего исследуем знак приращения . При

 ,

а при

               .             (7.3.36)

Итак, монотонность функции  обеспечивает однократность смены знака приращения . Очевидно, выбор  должен производиться из условий:

 ,                 (7.3.37)

которые можно свести к системе неравенств:

 .                  (7.3.38)

Найдем расходы за период так же, как и в детерминированном случае (рис. 7.15):

а) при  средний положительный запас равен , а время его существования ;

б) при  получим средний положительный запас , средний дефицит , время существования запаса  и время существования дефицита .

Общие расходы в единицу времени составляют

.

<< prev | ^up^ | next >>

 
     
  Copyright © 2002-2004