Абітурієнти :: Зразки білетів

ПРОГРАМА

З МАТЕМАТИКИ

Розділ 1. АЛГЕБРА

       Тотожні перетворення раціональних та ірраціональних алгебраїчних виразів. Дії над степенями. Формули скороченого множення. Розкладання многочленів на множники. Дії над арифметичними коренями. Звільнення від ірраціональності у знаменнику або чисельнику дробу. Порівняння числових виразів. Числові нерівності та їх основні властивості. Доведення нерівностей.

       Рівняння та нерівності (основні питання). Рівносильні та нерівносильні перетворення рівнянь та нерівностей. Основні методи розв’язання рівнянь і нерівностей (метод заміни змінних, графічний метод, узагальнений метод інтервалів).

       Рівняння з одним невідомим. Цілі раціональні рівняння. Рівняння першого степеня. Рівняння другого степеня (квадратне рівняння): існування коренів, формули коренів, властивості коренів (теорема Вієта: пряма і обернена). Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Розміщення коренів квадратного рівняння відповідно заданого числа. Рівняння вищих степенів. Теорема Безу та її наслідки. Рівняння вищих степенів, які зводяться до квадратних рівнянь. Раціональні рівняння. Ірраціональні рівняння. Рівносильні перетворення ірраціональних рівнянь. Рівняння, невідоме яких входить під знак модуля. Метод інтервалів.

       Системи алгебраїчних рівнянь. Системи алгебраїчних рівнянь з двома невідомими. Рівносильність систем рівнянь, основні способи розв’язання систем рівнянь. Дослідження системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Графічна ілюстрація дослідження. Системи раціональних рівнянь. Однорідні системи. Симетричні системи. Системи ірраціональних рівнянь. Системи алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Системи лінійних рівнянь з трьома невідомими. Методи розв’язання систем трьох рівнянь з трьома невідомими.

       Нерівності з одним невідомим. Раціональні нерівності. Метод інтервалів. Нерівності, невідоме яких входить під знак модуля. Ірраціональні нерівності. Рівносильні перетворення ірраціональних нерівностей. Системи та сукупності нерівностей.

       Функція. Основні питання. Степенева функція. Елементарні перетворення графіків функцій. Квадратична функція. Геометричний образ залежності. Рівняння кола. Зображення на координатній площині геометричних образів рівнянь, нерівностей та їх систем. Графічний метод розв’язання рівнянь, нерівностей та їх систем. Параметрична сім’я графіків функцій. Якісне дослідження рівнянь і нерівностей з параметрами графічним методом. Геометричні образи систем рівнянь і нерівностей з параметрами.

       Графічні та аналітичні методи розв’язання рівнянь, нерівностей та їх систем з параметрами. Текстові задачі на складання рівнянь та систем рівнянь. Задачі та прогресії (арифметична і геометрична прогресії; загальний член арифметичної прогресії, властивість її членів; загальний член геометричної прогресії, властивість її членів, сума п членів; нескінченно спадна геометрична прогресія, сума її членів). Задачі на спільну роботу. Задачі на рух. Задачі з цілочисельними невідомими. 

Розділ 2. ТРИГОНОМЕТРІЯ

         Залежність між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Розв’язання прямокутних трикутників. Залежності між сторонами і кутами трикутника. Визначення сторони трикутника через радіус описаного кола і протилежного цій стороні кута. Теорема синусів, теорема косинусів, теорема тангенсів. Розв’язання косокутних трикутників.

         Градусне і радіанне вимірювання кутів і дуг. Перхід від градусної міри кута (дуги) до радіанної і навпаки. Узагальнення поняття про кут: додатні і від’ємні кути, кути будь-якої величини. Означення тригонометричних функцій абстрактного аргументу. Основні залежності між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу. Тригонометричні функції суми й різниці двох аргументів. Функції подвійного, потрійного й половинного аргументів. Формули додавання і віднімання тригонометричних функцій. Перетворення добутку двох функцій на суму. Формули подання всіх тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу. Формули зведення.

        Тригонометричні функції: синус, косинус, тангенс і котангенс. Їх властивості, графіки.

        Поняття оберненої функції. Означення обернених тригонометричних функцій. Обернені тригонометричні функції: арксинус, арктангенс і арккотангенс. Їх властивості і графіки. Співвідношення між оберненими тригонометричними функціями (перехід від однієї функції до іншої).

       Тригонометричні рівняння. Найпростіші тригонометричні рівняння та їх розв’язки. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних відносно деякої тригонометричної функції. Інші способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Системи тригонометричних рівнянь та їх розв’язання. Розв’язання рівнянь з оберненими тригонометричними функціями.

       Тригонометричні нерівності. Найпростіші тригонометричні нерівності та їх розв’язки. Розв’язання тригонометричних нерівностей. Нерівності з оберненими тригонометричними функціями та їх розв’язання. Розв’язання тригонометричних рівнянь, нерівностей і їх систем з параметрами. Доведення тригонометричних нерівностей.

Розділ 3.ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Метод координат

        Декартова прямокутна система координат. Відстань між двома точками. Поділ відрізка в даному відношенні. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між двома прямими. Паралельність і перпендикулярність двох прямих. Рівняння прямої, що проходить через точку в заданому напрямі. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Рівняння прямої у відрізках. Загальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

       Вектори на площині. Поняття вектора. Довжина вектора і напрямок вектора. Координати вектора. Додавання векторів. Множення вектора на число. Проекція вектора на вектор. Скалярний добуток двох векторів. Кут між двома векторами.

3.2. Планіметрія

        Основні залежності між елементами плоских фігур. Ознаки рівності та ознаки подібності трикутників. Метричні співвідношення між елементами прямокутного трикутника. Теорема про квадрат сторони трикутника. Властивість діагоналей паралелограма і трапеції. Середня лінія трикутника і трапеції. Властивість бісектриси внутрішнього кута трикутника.

        Коло. Вимірювання кутів, вписаних у коло. Властивість дотичної та січної, проведених до кола з однієї точки. Властивості чотирикутників, вписаних і описаних навколо кола. Властивості відрізків хорд, що перетинаються в колі або поза колом.

       Площі плоских фігур. Основні поняття. Площа прямокутника, трикутника, паралелограма, ромба, трапеції. Властивість площ трикутників, на які трапеція ділиться її діагоналями. Площі многокутників. Відношення площ подібних фігур.

       Правильні многокутники. Зв’язок між сторонами правильних многокутників і радіусами вписаних в них та описаних навколо них кіл.

       Довжина кола та його дуги. Площа круга, сектора, сегмента.

     Застосування тригонометрії та методу координат до розв’язання задач з планіметрії.

3.3. Стереометрія

       Многогранники: паралелепіпед, призма, піраміда, зрізана піраміда, площі їх бічної і повної поверхонь та об’єми.

      Тіла обертання: циліндр, конус, зрізаний конус ,куля, кульовий сектор, кульовий сегмент, їх властивості, площі бічної і повної поверхонь, об’єми.

Розв’язання задач на комбінації кулі з многогранниками.

Розділ4. ПОКАЗНИКОВА ТА

 ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ.

      Узагальнення поняття про показник. Дії над степенями з дійсними показниками. Тотожні перетворення показникових виразів.

      Показникова функція, її  властивості та графік. Показникові рівняння. Еквівалентність показникових рівнянь. Розв’язання показникових рівнянь і їх систем. Показникові нерівності, їх еквівалентність та розв’язання. Степенево-показникові рівняння і нерівності, їх еквівалентність та розв’язання. Розв’язання показникових рівнянь, нерівностей та їх систем з параметрами.

       Поняття логарифма. Логарифм добутку, частки, степеня і кореня. Формула переходу від однієї основи логарифма до іншої. Тотожності перетворення логарифмічних виразів.

       Логарифмічна функція, її властивості і графік. Логарифмічні рівняння. Еквівалентність логарифмічних рівнянь. Розв’язання логарифмічних рівнянь і їх систем. Логарифмічні нерівності, їх еквівалентність та розв’язання. Системи показникових і логарифмічних рівнянь. Розв’язання логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем з параметрами.

Розділ 5. ПОХІДНА ТА ЇЇ

ЗАСТОСУВАННЯ.

ПЕРВІСНА ФУНКЦІЯ

          Границя функції. Неперервність функції в точці й на інтервалі. Властивості неперервних функцій. Найбільше та найменше значення функції, неперервної на відрізку.

        Похідна. Основні правила диференціювання функцій. Похідна від неявно заданої функції.

        Механічний і геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції в заданій точці. Дотична до кола, параболи, гіперболи. Дотик графіків функції.

       Застосування похідної при дослідженні функції. Умови зростання та спадання функції. Дослідження функцій на монотонність. Екстремуми функцій. Необхідна умова екстремуму. Достатні умови екстремуму по першій та другій похідних.

      Знаходження найменшого та найбільшого значень функції, неперервної на відрізку.

      Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка. Опуклість графіка функції. Асимптоти графіка функції.

     Застосування деяких властивостей функцій (парність, непарність, монотонність, необхідні умови і достатні умови, одночасний екстремум функцій та ін.) до розв’язання нестандартних рівнянь і нерівностей.

      Задачі на знаходження екстремальних значень: текстові задачі. Задачі планіметрії та стереометрії, знаходження відстані від точки до кривої, знаходження відстані між двома кривими та ін.

      Застосування похідної при доведенні нерівностей.

         Похідна в задачах з параметрами.

        Первісна функція. Основні властивості первісної. Правила знаходження первісних. Площа криволінійної трапеції. Формула Ньютона-Лейбніца. Застосування інтеграла.

Розділ 6. ВИПУСКНІ (АТЕСТАЦІЙНІ)

ВИПРОБУВАННЯ

      Регламент проведення. Структура білетів. Норми оцінювання. Розв’язання типових варіантів випускних (атестаційних) робіт, методичні рекомендації щодо їх виконання та оформлення.

ПЛАНОВІ РЕЙТИНГОВІ ЗАХОДИ

З МАТЕМАТИКИ

ТА ТЕРМІНИ ЇХ ПРОВЕДЕННЯ

1.     Поточні планові рейтингові заходи.

1.2.Індивідуальні атестаційні роботи (ІАР):

1.2. Планова атестаційна контрольна робота (очна):

                                                лютий 2003 р.

2.     Випускне (атестаційне)

випробування:

квітень-травень 2003р.